2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，由交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，即，

故选：B.

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.

【详解】命题“，”的否定为 “，”.

故选：C.

3．在用“二分法”求函数零点近似值时,若第一次所取区间为,则第二次所取区间可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二分法的步骤,取中间数2,判断是否为0,然后判断由2分开的两个区间端点函数值乘积的正负,故选出结果.

【详解】解:由题知第一次所取区间为,

取中间值,

则则第二次所取区间可能是.

故选:D

4．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.

【详解】对于函数，，解得或，

所以，函数的定义域为.

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数为增函数，

因此，函数的单调递减区间为.

故选：A.

5．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用1作为中间量，结合指数函数，对数函数单调性，可比较与大小.利用对数函数单调性，可比较与大小.

【详解】设，，则在上单调递减，

在上单调递减.

又，

则，即.

故选：B

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数是偶函数可淘汰B，然后将代入函数可淘汰D，再算出函数的零点个数可淘汰A，即可求解

【详解】由可得，所以是偶函数，故淘汰B选项；

因为，故淘汰D选项，

令，解得，故只有两个零点，故淘汰A选项，

故选：C

7．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：

例如：十进制数“28”用十六进制表示就是“1C”（因为），同理，用十进制表示的加法“14+13=27”，在十六进制下的加法为“”，那么，在十六进制下，（    ）A．9C              B．84              C．              D．

【答案】A

【分析】先根据十进制求出与的积，再把结果转化为十六进制即可.

【详解】解：.

故选：A.

8．设对恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，分（不满足题意）和 ，解得，两种情况解决即可.

【详解】令，

若，则，

于是，与题意矛盾，

所以，

此时，那么恒成立，

代入，知，解得，

所以，

所以，

当时，

对恒成立，满足题意，

综上可得，的最大值为，

故选：C

二、多选题

9．若，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据基本不等式或不等式的性质可判断AC的正误，根据反例可判断BD的错误.

【详解】因为，故，故，当且仅当时等号成立.

故A成立.

因为，故，故C成立.

若，则，故不成立，故B错误.

取，则，故D错误.

故选：AC.

10．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，令，，则，，，

，B错误；

对于C，为定义在上的增函数，，C正确；

对于D，，

，D正确.

故选：ACD.

11．设正实数，满足，则（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.

【详解】选项A，由，可得，所以，故选项A正确；

选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，则，故选项B错误；

选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；

选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.

故选：ACD.

12．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（    ）

A． B．是偶函数

C．关于中心对称 D．

【答案】BCD

【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.

【详解】令，则或，故A错误，

若时，令，则，此时是偶函数

若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，

令，则，所以关于中心对称，故C正确，

由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，

令，则，故，

进而，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．函数的定义域是_______.

【答案】或.

【解析】根据题意得，解不等式即可得答案.

【详解】解：要使函数有意义，则需满足，

解得：.

故函数的定义域为或

故答案为：或

【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查运算能力，是基础题.

14．已知，则__________．

【答案】

【分析】将配凑为的形式即可求得结果.

【详解】.

故答案为：.

15．已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】去绝对值得分段函数，即可得分段函数的单调性，即可根据条件确定参数范围.

【详解】，则在区间上是增函数，又在区间上是增函数，∴.

故答案为：.

16．设函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】把方程拆成，且讨论根的情况即可.

【详解】令，根据图像可得：

(1)当或时，方程有一个解；

(2)当或时，方程有二个解；

(3)当时，方程有三个解；

(4)当时，方程有个解；

因为则变为：；

若方程有4个不同的实数根，可以转化为：

(Ⅰ)①方程在上有两个根，则满足

即

②方程有两个根，且一个根为，另一个根在之间，

当一个根为时，即,所以变为：，只有一个根

这与方程有两个根矛盾，故不成立.

(Ⅱ) ①方程有两个根，一个小于，一个在之间.,则满足：

即

②方程有两个根，一个等于，一个在之间.,则满足：

当一个根为时，即即，

当时方程变为：即

另一个根 为，不符合题意，即不成立.

综上或

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，

(1)当，求集合；

(2)若集合，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解不等式，即可得解；

（2）由，得，再分和两种情况讨论，列出不等式，即可得解.

【详解】（1）解：当，；

（2）解：因为，所以，

，

，

当，即时，，

则，解得，

当，即时，，

此时，所以不符题意，

综上，.

18．已知幂函数为偶函数，

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可得解；

（2）首先得到的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；

【详解】（1）解：因为为幂函数，

所以，解得或

因为为偶函数，

所以，故的解析式；

（2）解：由（1）知，对称轴为，开口向上，

当即时，，即；

当即时，，即；

综上所述：或．

19．已知，

(1)用定义证明在单调递增；

(2)解不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 设任意且，作差，整理变形，比较与零的大小关系即可证明；

(2)将不等式等价转化，也即，根据（1）的结论列出不等式组，解之即可求解.

【详解】（1）设任意且，

则，

因为，所以，因为，则，所以，

所以，即，

也即，又因为，

故函数在单调递增.

（2）因为不等式可化为

，也即，

因为函数，故，

由（1）知：函数在单调递增，

则有，解得：，

所以原不等式的解集为.

20．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，e是自然对数的底数.现有85℃的物体，放在5℃的空气中冷却，10以后物体的温度是45℃.

(1)求k的值；

(2)求该物体的温度由85℃降到30℃所需要的冷却时间.(冷却时间精确到0.1，参考数据：)

【答案】(1)；

(2)16.8min.

【分析】（1）根据题意可得出，，从而只需求，时的值即可.

（2）利用（1）求出的解析式，根据对数的运算求时的值即可.

【详解】（1）由题意可知，，

当时，，于是，

整理得，所以，所以.

（2）由（1）知，，当时，，

所以，所以，

所以，

所以该物体的温度由85℃降到30℃，需要16.8min.

21．已知，且对恒成立，

(1)求实数的值；

(2)当，求证：函数的图象是中心对称图形，并求对称中心．

【答案】(1)4

(2)证明过程见详解，对称中心为

【分析】（1）根据，代入表达式化简即可求解；（2）由得出的中心对称性，从而进一步证明出的中心对称性.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以

所以两边同时乘以，

得，

得，

得，

从而得，

又因为恒为正数，

所以，

所以，

（2）因为，

所以，

所以关于中心对称，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以函数的图象是中心对称图形，

且对称中心为.

22．已知定义在的函数满足以下条件：

①；

②当时，；

③对，均有．

(1)求和的值；

(2)判断并证明的单调性；

(3)求不等式的解集．

【答案】(1)，；

(2)在上单调递增，证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用赋值法求解即可；

（2）利用单调性的定义结合已知条件证明即可；

（3）由（2）可知当时，，则，所以将原不等式转化为，再由已知条件可得，由于，则，再转化为，再构造函数，再由其单调性和可求得结果.

【详解】（1）因为，，

所以令，则，

令，则，

令，则，即，

得或，

令，则，即，

若，则，与已知矛盾，

所以；

（2）在上单调递增，证明如下：

任取，且，则

，

所以，

则

，

令，则，

所以，

当时，，所以，

所以，则，

所以，即，

所以当时，，

所以，

因为，

所以，即，

所以在上单调递增；

（3）由（2）可知当时，，

所以，

所以可化为，

所以，

所以，

所以，

因为在上单调递增，

所以，

令，则在上单调递增，

因为，

所以可化为，

所以，

即原不等式的解集为.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合应用，考查函数单调性的证明和应用，考查利用函数的单调性证明不等式，第（3）问解题的关键是将原不等式转化为，再次转化为，再由的单调性转化为，然后构造函数利用其单调性可求得不等式的解集，考查数学转化思想，属于较难题.