2022-2023学年重庆市永川北山中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市永川北山中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求得集合,然后利用补集定义求得.

【详解】由解得,∴，

又∵,∴,

故选：D.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】利用全称命题的否定可得出结论.

【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为：，.

故选：D.

3．“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据不等式关系，结合充分条件和必要条件的定义来判断出是什么条件.

【详解】解：由题意，

设，，

∵，

∴“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

4．函数，f(x)=lg(x-1)的定义域是

A．(2，+∞) B．(1,+∞) C．[1，+∞) D．[2，+∞)

【答案】B

【详解】考查函数的定义域，利用对数的真数大于0即求得．

5．设，则这四个数的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

所以，故选B．

6．已知函数是奇函数，当时，，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求，再利用奇函数的性质，求值.

【详解】

是奇函数，满足，

即.

故选：D

【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型.

7．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.

给出下列四种说法：

①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；

②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；

③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；

④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.

其中，正确的说法是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.

【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，

显然，，为票价.

当时，，则为固定成本.

由图象(2)知，直线向上平移，

不变，即票价不变，

变大，且，则变小，成本减小.

故①错误，②正确；

由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大.

变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变.

故③正确，④错误.

故选：C.

8．对于，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．

【详解】解：

根据y在R上是单调减函数

则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，

即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，

△＝（3﹣2a）2﹣4a2<0解得，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．

二、多选题

9．若函数是幂函数，则一定（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】BD

【解析】根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.

【详解】因为函数是幂函数，

所以，

解得或，

所以或，

由幂函数性质知是奇函数且单调递增，

故选：BD.

10．给出下列四个命题是真命题的是（    ）

A．函数的定义域中的任意，满足

B．奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；

C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为；

【答案】ACD

【分析】选项A由函数的凹凸性可判断；选项B由奇函数的性质可判断；选项C通过函数平移法则可判断；选项D通过抽象函数定义域可判断.

【详解】解：A选项：函数为上凸函数，如图，所以中点处的函数值比函数值的一半要大，故A正确；

B选项：奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点，如，故B错误；

C选项：根据左加右减的原则可知：函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到，故C正确；

D选项：由抽象函数定义域可知：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故D正确；

故选：ACD.

11．若关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的解集是

C． D．的解集是

【答案】AB

【分析】首先利用不等式和对应方程的关系，可得，，再判断选项.

【详解】因为的解集是，所以，且的两个实数根是或，即，，解得：，，

故A正确；C不正确；，即，解得：，故B正确；，即，解得：，故D不正确.

故选：AB

【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和不等式的关系，关键是根据根与系数的关系求出的值.

12．若正实数、满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】利用基本不等式可判断AB选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项的正误；利用基本不等式求出的最大值，可判断D选项的正误.

【详解】由于正实数、满足，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.

对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，，

当且仅当时，等号成立，B选项正确；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，，，

当且仅当时，等号成立，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

13．计算：__________．

【答案】6

【分析】利用对数和指数的运算法则化简即得.

【详解】原式,

故答案为：6

14．已知，则的解析式为__________.

【答案】

【分析】令，利用换元法可以得到.

【详解】令,

,

.

故答案为：.

15．已知函数在区间是增函数，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，由此能求出实数a的取值范围．

【详解】∵函数，

函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，

当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，

∴区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，即a≥-1，

∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．

故答案为[-1，+∞）．

【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．

16．已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数与的图象有三个交点时，求数的取值范围的问题，数形结合即可得出.

【详解】

函数的图象如图所示，

因为恰好有三个实数根，

即函数与的图象有三个交点，

由图象可知，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）,（2）

【解析】（1）化简集合，求出，再根据并集的概念求出，根据交集的概念求出；

（2）由得，再按照和两种情况讨论可求得结果.

【详解】（1），或，

，

，

或.

（2）因为，所以，

当时，，即时，满足 ；

当，即时，由得，解得，

综上所述：.

【点睛】易错点点睛：第（2）问容易漏掉时的情况.

18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　

（1）求函数的解析式；

（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；

（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调递增区间是，单调递减区间为和．

【详解】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间.

试题解析：

（1）设，则，

∵当时，，

∴，

∵函数是定义在上的奇函数，

∴（），

∴

（2）函数的图象如图所示：

（3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和．

点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法.

19．已知函数.

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性并给予证明；

(3)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)函数为奇函数，证明见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.

【详解】（1）根据题意，函数，

所以，解可得，

所以函数的定义域为；

（2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，

因为函数，

所以，

所以函数为奇函数.

（3）根据题意，即，

当时，有，解可得，此时不等式的解集为；

当时，有，解可得，此时不等式的解集为

所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

20．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：

（1）讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（2）一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？

【答案】（1）讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；（2）经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目．

【分析】（1）对分段函数讨论，当时，时，当时，分析函数的单调性，求得最大值即可；

（2）当时，令，解得，当时，令，解得，作差即可得到结论．

【详解】解：（1）当时，，

对称轴，在对称轴的左侧，随增大而增大，

当时，取得最大值240，

时，．

当时，，随的增大而减小．

此时．

故，，

即有讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；

（2）当时，令，

解得，

当时，令，

解得．

由于，

则经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目．

21．已知对任意的实数，都有：，且当时，有．

（1）求；

（2）求证：在上为增函数；

（3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）．

【分析】(1)在已知恒等式中令可得;

(2)用增函数的定义可证;

(3)利用已知恒等式和求得,再将不等式化为后,利用单调性可化为在上恒成立,再利用二次函数的最值可解决.

【详解】（1）解：令，则，解得．

（2）证明：设是上任意两个实数，且，则

则

所以，

由得，所以，

故，即，

所以在上为增函数．

（3）由已知条件有：，

故原不等式可化为：，

即，

因为,

所以,

因为,

所以,

故不等式可化为．

由（2）可知在上为增函数，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可，

（i）当即时，在上单调递增．

则解得，所以，

（ii）当，即时，有，

化简得:,即,

解得，

而，所以，

综上所述：实数的取值范围是．

【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明,利用单调性解抽象函数不等式,不等式恒成立,分类讨论求二次函数的最小值,属于难题.

22．已知函数为偶函数.

（1）求实数a的值；

（2）判断的单调性，并证明你的判断；

（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.

【答案】（1）；（2）在上为增函数，在上为减函数，证明见解析；（3）存在，.

【解析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值；

（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；

（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可.

【详解】（1）函数为偶函数，

，

即，

；

（2）当时，，

则函数在上为增函数，在上为减函数，

证明：设，

则，

，

，，

，

即，

故在上为增函数；

同理可证在上为减函数；

（3）函数在上为增函数，

若存在实数，使得当时，

函数的值域为，

则满足，即，

即m，n是方程的两个不等的正根，

则满足，

解得，

故存在，使得结论成立.

【点睛】易错点点睛： ，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意.