2022-2023学年重庆市永川中学校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市永川中学校高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．=（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．

【详解】cos=cos（π+）=-cos=-.

故选D．

【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值．属基础题．

2．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用扇形面积公式计算即可.

【详解】由题知：，故.

故选：A

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

3．命题，.则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】命题，，则为，.

故选：A

4．关于四个数，，，的大小，下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出每个数的范围即可比较大小.

【详解】，，，，

.

故选：B.

5．若，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

【答案】D

【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数的性质即可判断.

【详解】若，则和无意义，得不出，

若，则，可以得出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：D.

6．在的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据为奇函数，可排除C、D，求得的值，可排除B，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除C、D，

又当时，，

所以可排除B，只有A选项图象满足题意，

故选：A

7．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度（千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，，代入，运算即得解

【详解】由题意，，代入可得

故

故选：A

8．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用赋值法及条件可得，则当时，恒成立，令，利用二次函数的性质可得，所以在上恒成立，再结合对数函数的性质即得.

【详解】∵函数对于一切实数均有成立，

∴令得，，又，

∴，

∴令得，，即，

当时，不等式恒成立，

∴当时，恒成立，

令，，则在上单调递增，

∴，

∴要使当时，恒成立，

则在上恒成立，

当时，，不成立，

当时，则有，所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列式子中，能使成立的充分条件有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】根据不等式性质，逐个判断即可得解.

【详解】对A，因为，所以，故A正确，

对B，，根据不等式的性质可得：，故B正确

对C，由于，所以，故C错误，

对D，由于，根据不等式的性质可得：，根D正确，

故选：ABD.

【点睛】本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．由可得是的整数倍

B．函数为偶函数

C．函数在上为减函数

D．函数在区间上有19个零点

【答案】BC

【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式，再利用函数的性质逐项判断即可得解．

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，，可得，

又，所以，

所以．

对于，当，时，，但不是的整数倍，故错误；

对于，是偶函数，故正确；

对于，当时，，由正弦函数性质知它是减函数，故正确；

对于，令，则，即，

所以，解得，

因为，所以共10个，故D错误，

故选：．

11．设，，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为2 B．的最小值为2

C．的最小值为 D．

【答案】ACD

【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．

【详解】解：因为，，且，

由基本不等式可得，当且仅当，时取等号，解得，正确；

，当且仅当时取等号，B错误；

，当且仅当且，即，时取等号，C正确；

成立，当且仅当时，基本不等式中等号成立，D正确．

故选：ACD．

12．已知函数是定义在上的偶函数，对任意的都有，且，对任意的，且时，恒成立，则（    ）

A．函数是周期为6的周期函数

B．

C．在，上是减函数

D．方程在上有4个实根

【答案】ABD

【分析】根据，求出周期即可判断A；根据，结合周期即可判断B；根据定义法证明单调性，结合周期即可判断C；根据，，结合方程的根，即可判断D．

【详解】由，可得，所以函数是周期为6的周期函数，所以正确；

因为，可得，所以B正确；

因为对任意的，且时，恒成立，所以函数在上为单调递增函数，又由函数为偶函数，

所以，上为单调递减函数，所以函数在，上单调递增，在区间，上单调递减，

所以函数在区间，先增后减，所以C不正确；

由，可得，

所以，，可得在区间内，

方程的实根为，，

故在上有4个实根，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知集合，，则=_______.

【答案】

【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.

【详解】由题意，，所以.

故答案为：.

14．已知幂函数为偶函数，且在区间上是增函数，则 ____________．

【答案】

【分析】试题分析：由幂函数在区间 上是增函数，则，解得 ，当时， ，此时为奇函数，不满足题意；当 时，，此时 为偶函数；当时， ，此时为奇函数，不满足题意，综上所述， ．

【解析】幂函数的图象与性质．

15．已知函数在[-2,2]上单调递增，则m的取值范围是_________.

【答案】[2,3)

【分析】由题设，根据对数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可求m的取值范围.

【详解】由题设，令，开口向下且对称轴为，又定义域上递增，

∴要使在[-2,2]上单调递增，则，可得.

故答案为：.

16．已知函数，则方程的根的个数为 ________．

【答案】4

【分析】作出函数的大致图象，根据与的图象交点个数即可得出结果.

【详解】方程的根的个数，

即函数与函数的图象交点个数，

在同一坐标系中作出两个的图象，如下：

由图象可知，方程的根的个数为4.

故答案为：4

四、解答题

17．已知点为角终边上的一点．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先由三角函数的定义计算出的三个三角函数值，代入所求式子即可求解；

（2）利用诱导公式化简即可求解.

【详解】因为，所以

所以，，，

（1）；

（2）原式．

18．已知集合，集合．

（1）求；

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先化简与集合，再计算并集即可；

（2）化简，又因为是的充分不必要条件，则即可得出结果.

【详解】（1）由得 则 ，由得 则，所以；

（2）， 因为是的充分不必要条件

所以是的真子集，所以， 即

19．已知函数，．

（Ⅰ）证明：函数在上单调递增；

（Ⅱ）若，，使得，求实数a的最大值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.

【解析】（Ⅰ）利用单调性的定义证明即可；

（Ⅱ）由题意可知，函数在[3，+∞)的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.

【详解】（Ⅰ）取，且，

则

，

因为，所以，，，

所以，所以，

即，

所以函数在上单调递增；

（Ⅱ）由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3,+∞)上值域的子集，

，

等号成立的条件是，即x=3时等号成立，

即函数在[3,+∞)的值域是[4,+∞)，

，是增函数，

当x∈[3,+∞)时，函数的值域是，

所以，解得：1<a≤2，

所以实数a的最大值是2.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：

（1）利用函数单调性的定义，按取值、比较大小、得出结论的步骤证明即可；

（2）根据题意，将问题转化为两个函数值域的关系，建立不等关系式求得结果.

20．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.

【详解】（1）根据题意，，化简得，

（2）由（1）得

当时，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，.

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.

21．已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的对称中心及在上的减区间；

(3)若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)对称中心；减区间：，；

(3)或.

【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；

（2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间；

（3）设，将方程转化为函数与公共点问题.

【详解】（1）解：角的终边经过点，,

,

,

由时，的最小值为，

得，即，,

，

（2）解：令，即，即，所以函数的对称中心为，

令，得，

又因为，

所以在上的减区间为，

（3）解：，

，

，

设，

问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根．

，，

作出曲线，与直线的图象．

时，；时，；时，．

当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．

的取值范围是：或．

22．已知函数为奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）若对任意都有成立，求t的取值范围；

（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；

（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；

（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.

【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，

即对定义域内任意恒成立，所以，即，

显然，又当时，的定义域关于原点对称．

所以为满足题意的值．

（2）由（1）知，其定义域为，

可以判断出在上为增函数．

所以在上为增函数，

对任意都有成立，则有，

所以，所以，

所以求t的取值范围为；

（3）由（2）知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为，

所以，且，所以，

即是方程的两实根，  

问题等价于方程在上有两个不等实根，

令，对称轴

则，

即，解得．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.