广西壮族自治区南宁市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广西壮族自治区南宁市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2022的绝对值是（ ）
A．2022B．±2022C．D．
2．（3分）下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
4．（3分）一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a5
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．100°
7．（3分）将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．2
9．（3分）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝2100
B．300+300（1+x）2＝2100
C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100
10．（3分）如图，已知圆O的直径为6，CD为圆O的直径，且CD⊥AB，∠D＝15°．则OE的长为（ ）
A．3B．3C．D．
11．（3分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值为（ ）
A．6B．18C．36D．144
12．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②3a+b＞0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）分解因式：4a2﹣28ab＝ ．
14．（2分）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ．
15．（2分）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝ 度．
16．（2分）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 ．
17．（2分）如图，半径为6的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E．若∠CED＝40°，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，OA＝2，将四边形OABC绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA1B1C1，接着将四边形OA1B1C1绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA2B2C2…，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，则点B2021的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2．
20．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
22．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了部分学生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．
（1）本次抽取到的学生人数是 人；
（2）求这部分学生捐款的平均数，众数和中位数；
（3）如果捐款的学生有3000人．估计这次捐款10元的学生有多少人．
23．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM．
（2）当AE＝2时，求EF的长．
24．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝8，DC＝12，求⊙O的半径；
（3）如图2，F为中点，连接EF，在（2）的条件下，求EF的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广西南宁市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2022的绝对值是（ ）
A．2022B．±2022C．D．
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：A．
2．（3分）下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．（3分）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（ ）
A．⊙O的内部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部
【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵r＝4，d＝5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
4．（3分）一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12，
∵﹣12＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除法运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、3a﹣a＝2a，故此选项错误；
B、a•a2＝a3，故此选项正确；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（a3）2＝a6，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：B．
7．（3分）将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣6）2+3向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x﹣6+2）2+3+2，即．
故选：B．
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】设OD＝OF＝AF＝AD＝x，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，
∴AB＝＝3，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则AF＝AD＝4﹣x，BD＝BE＝3﹣x，
∵AF+CF＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
∴x＝1，
则圆O的半径为1．
故选：A．
9．（3分）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝2100
B．300+300（1+x）2＝2100
C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100
【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．
【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：
300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，
故选：D．
10．（3分）如图，已知圆O的直径为6，CD为圆O的直径，且CD⊥AB，∠D＝15°．则OE的长为（ ）
A．3B．3C．D．
【分析】连接OA，先根据圆O的直径为6求出OA的长，再由CD⊥AB得出∠AEO＝90°，由圆周角定理求出∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图：连接OA，
由题意可知：OA＝3，
因为CD⊥AB，
所以∠AEO＝90°，
因为∠D＝15°，
所以∠AOE＝30°，
所以OE＝OA•cs30°＝，
故选：D．
11．（3分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值为（ ）
A．6B．18C．36D．144
【分析】设AC＝x，则BD＝12﹣x，根据题意表示出四边形ABCD的面积，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：设AC＝x，则BD＝12﹣x，
则四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×x×（12﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18，
∴当x＝6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，
故选：B．
12．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②3a+b＞0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣2时，y＜0，于是可对①进行判断；
利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对②进行判断；
利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对③进行判断；
由于抛物线与直线y＝n有一个公共点，则抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；
④∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）分解因式：4a2﹣28ab＝ 4a（a﹣7b） ．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．
故答案为：4a（a﹣7b）．
14．（2分）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ﹣1 ．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
所以，m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2分）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝ 60 度．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝120°×＝60°，
故答案为：60．
16．（2分）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 m＜1且m≠0 ．
【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式Δ＞0可求出m的取值范围，此题得解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△＝22﹣4m＞0，
∴m＜1．
∴m＜1且m≠0．
故答案为m＜1且m≠0．
17．（2分）如图，半径为6的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E．若∠CED＝40°，则图中阴影部分的面积为 5π ．
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝50°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，
∵∠DEC＝40°，
∴∠DEO＝90°﹣∠DEC＝90°﹣40°＝50°，
在△DOE和△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝50°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝5π，
∴图中阴影部分的面积＝5π，
故答案为5π．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，OA＝2，将四边形OABC绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA1B1C1，接着将四边形OA1B1C1绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA2B2C2…，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，则点B2021的坐标是 （0，+1） ．
【分析】连接AC交OB于E．解直角三角形求出点B的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：连接AC交OB于E．
由题意，OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，
∵四边形AOCB关于x轴对称，
∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，
∴OE＝OA•cs30°＝，AE＝EB＝OA•sin30°＝1，
∴B（+1，0），B1（0，+1），B2（﹣﹣1，0），B3（0，﹣﹣1），
观察图象可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴B2021的坐标与B1相同，坐标为（0，+1）．
故答案为：（0，+1）．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减即可求出值．
【解答】解：﹣14+（）3×2﹣（﹣2）0+2
＝﹣1+×2﹣1+2．
＝﹣1+1+2
＝．
20．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
22．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了部分学生的捐款进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．
（1）本次抽取到的学生人数是 50 人；
（2）求这部分学生捐款的平均数，众数和中位数；
（3）如果捐款的学生有3000人．估计这次捐款10元的学生有多少人．
【分析】（1）将所有小组的频数相加后即可求得抽到的学生的人数；
（2）根据众数和中位数的定义求解；
（3）利用样本估计总体，用样本频率乘以300即可．
【解答】解：（1）本次抽到的学生的人数为8+14+20+6+2＝50（人），
故答案为：50；
（2）这部分的数据的平均数＝×（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）＝13；
在这组数据中15出现的次数最多，这部分学生捐款的众数为15；
把这组数据按照从小到大的排列顺序，处在第25和第26个位置的数据都是15，
∴这组数据的中位数为15；
∴这组数据的平均数为13，众数为15，中位数为15；
（3）∵这50名学生中捐款10元的学生有14人，
∴×3000＝840（人），
∴估计这次捐款10元的学生有840人．
23．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM．
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
24．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）设利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣x+180）
＝﹣x2+210x﹣5400，
∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；
令﹣x2+210x﹣5400＝3600，
解得x＝60或x＝150（舍），
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，
∵﹣1＜0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
25．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝8，DC＝12，求⊙O的半径；
（3）如图2，F为中点，连接EF，在（2）的条件下，求EF的长．
【分析】（1）连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OC，过点O作OF⊥AE于点F，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可；
（3）连接AF，BF，BE，过点B作BH⊥EF于点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD于点D，
∴OC⊥CD．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，连接CE，过点O作OF⊥AE于点F，如图，
则AF＝EF＝AE．
由（1）知：CD是⊙O的切线，
∴∠DCE＝∠DAC．
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD2＝DE•DA，
∵DE＝8，DC＝12，
∴DA＝18．
∴AE＝DA﹣DE＝18﹣8＝10，
∴EF＝5，
∴DF＝EF+DE＝5+8＝13．
由（1）知：OC⊥CD，
∵DA⊥CD，OF⊥AD，
∴四边形OFDC为矩形，
∴OC＝DF＝13，
∴⊙O的半径为13；
（3）解：连接AF，BF，BE，过点B作BH⊥EF于点H，如图，
由（2）知：⊙O的半径为13，AE＝10，
∴AB＝26，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝＝24．
∵F为中点，
∴，
∴AF＝BF＝AB＝13，
∴∠FAB＝∠FBA＝45°，
∵∠FEB＝∠FAB，
∴∠FEB＝45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴BH＝HE＝BE＝12．
∵BH⊥EF，
∴HF＝＝5，
∴EF＝EH+HF＝12+5＝17．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．