江苏省泰州市海陵区第二中学附属初中2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省泰州市海陵区第二中学附属初中2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

泰州市第二中学附属初中2022-2023学年度第一学期期末考试
九年级数学试题
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，则（　　）

A. B. C. D.
2. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）

A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
3. 已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4. 如图，转盘中点A，B，C在圆上，，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，记，，则（　　）

A. 9 B. 12 C. 16 D. 20
6. 在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）
①若，则该函数图图象与轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
②无论取何值，该函数图象必定经过两个定点．则（　　）
A. ①错误，②错误 B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确 D. ①正确，②正确
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 若线段，，则线段a，b的比例中项为____________.
8. 若⊙O的半径为，点与圆心的距离为，则点与⊙O的位置关系是______．
9. 不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是___________．
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为__．

11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __．

12 有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”）
13. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
14. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．
15. 中，平分交于点，且，若，，则___________．

16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，是常数，）的图象和直线都经过点，则的范围为___________．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：；
（2）解不等式组．
18. 人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：，，，，，）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
（2）下列结论正确是______．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
19. 现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、易腐垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“易腐垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率（画树状图或列表求解）

20. 如图，矩形的四个顶点分别在等腰三角形的边上．已知的，，记矩形的面积为，线段为．

（1）求关于的函数表达式；
（2）当时，求的值．
21. 如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．

（1）与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求长．
22. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
23. 如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点

（1）求证：与相切
（2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．
24. 已知函数，，函数称为、的组合函数
（1）求、的图象的交点坐标；
（2）、的图象的交点为、，抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的、的值
25. （1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；
（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；
（3）在（1）条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）．
①平移后抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；
②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；
③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．
泰州市第二中学附属初中2022-2023学年度第一学期期末考试
九年级数学试题
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，则（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
设，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
2. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）

A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
3. 已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．
【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°÷n=140°，
解得：n=9．
经检验，n=9是原方程的解．
故选B
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．
4. 如图，转盘中点A，B，C在圆上，，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理求出∠AOB，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：连接OA，OB，
∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∴∠AOB=2∠ACB=160°，
∴当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是，
故选C．

【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
5. 如图，在中，，，记，，则（　　）

A. 9 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）
①若，则该函数图图象与轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
②无论取何值，该函数图象必定经过两个定点．则（　　）
A. ①错误，②错误 B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确 D. ①正确，②正确
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得该函数图象与轴一定有两个交点，再由该函数图象与x轴的交点坐标为，可得①正确；然后根据无论取何值，该函数图象必定经过两个定点，故②正确，即可求解．
详解】解：，
∵，
∴，
∴该函数图象与轴一定有两个交点，
∵，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为，
∵，
∴，
∴点在原点右侧，故①正确；
当时，，
∴无论取何值，该函数图象必定经过两个定点，故②正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 若线段，，则线段a，b的比例中项为____________.
【答案】6
【解析】
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，，
根据比例中项原则：，
∴，
∴．
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 若⊙O的半径为，点与圆心的距离为，则点与⊙O的位置关系是______．
【答案】圆外
【解析】
【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可求得答案．
【详解】∵点A到圆心O的距离d=4＞3，
∴点A在⊙O外．
故答案：圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种：设⊙O的半径为r，点P与圆心的距离为d，则有①点在圆内时，d＜r；②点在圆上时：d＝r；③点在圆外时：d＞r．
9. 不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是___________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，因此用红球的数量除以所有球的数量即可求得是红球的概率．
【详解】解：∵袋子中共有10个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为__．

【答案】1
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __．

【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，
点的坐标为，，即点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
12. 有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：=×（11+12+13+14+15）=13，
s甲2= [（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2，
=×（12+12+13+14+14）=13，
s乙2= [（12-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（14-13）2]=0.8，
∵2＞0.8，
∴s甲2＞s乙2；
故答案为：＞．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
【答案】3π
【解析】
【详解】解：扇形的弧长为：
所以圆锥的侧面积为：
故答案为：．
14. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．
【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，
∴，
∴m=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．
15. 中，平分交于点，且，若，，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角求出，可证，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】平分，
,
,
，


在与中，




，，







故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的外角以及相似三角形的判定和性质；证明三角形相似并正确求解是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，是常数，）图象和直线都经过点，则的范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，从而得到，进而得到，再根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵二次函数（，是常数，）的图象和直线都经过点，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
即的范围为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】（1）用配方法解方程；
（2）分别求解两个不等式，再求出两个不等式的公共解．
【详解】解：（1）

，



或；
（2）
解得

解得
所以．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和一元一次不等式组的解；选择适当的方法并正确求解是解题的关键．
18. 人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：，，，，，）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
（2）下列结论正确的是______．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
【答案】（1）40 （2）①②

（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
（2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；
①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
【小问1详解】
解：将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
【小问2详解】
解：①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
【小问3详解】
解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育的政策，鼓励多生优育，以免人口负增长的情况出现.
【点睛】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
19. 现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、易腐垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“易腐垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率（画树状图或列表求解）

【答案】（1）；(2)．
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“易腐垃圾”的概率，
（2）首先利用树状图列举所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】（1）生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、易腐垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾恰好是“易腐垃圾”类：“易腐垃圾”的概率为：

记四种垃圾分别为A、B、C、D，
树状图如下

由树状图知，小丽投放垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为P=．
【点睛】本题考查概率问题，掌握概率的意义，树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
20. 如图，矩形的四个顶点分别在等腰三角形的边上．已知的，，记矩形的面积为，线段为．

（1）求关于的函数表达式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，证明，得出，则，根据，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而得出关于的函数表达式；
（2）将代入（1）的解析式，进而即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，

∵等腰三角形中，，，
∴，
在中，，
∵
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形的面积为，线段为
∴，
∴
∵矩形的四个顶点分别在等腰三角形的边上
∴ ，
∴，
∴，即
∴；
【小问2详解】
解：当时，即，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．

（1）与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，作轴，连结，由是的直径，得到由从而得到可得由所对的圆周角为和可得由可得即可得出结论．
（2）在（1）的条件下，可得（AAS），得到由可得由可得即可
【小问1详解】
当时，，
如图所示：作轴，连结，

是的直径，




∵轴，


所对的圆周角为和








【小问2详解】

∵在（1）的条件下，
在和中，

（AAS）






【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解此题的关键．
22. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
【答案】（1）；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意得出每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式，由题意可得，
，
解得， ，
∴y与x之间的函数关系式；
（2）由题意可得，
w=（x-10）（-5x+150）=（，且x为整数），
当时，，
∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式是解决问题的关键．
23. 如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点

（1）求证：与相切
（2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点O作于点F，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可；
（2）设的半径为r，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出r的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解．
【小问1详解】
证明∶过点O作于点F，

∵与相切，
∴，
∵平分，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解∶设的半径为r，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与相切，与相切，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，解得：或3，
当时，，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴弧、线段和组成的图形面积



．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，求扇形面积，平行四边形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，扇形面积公式，平行四边形的性质是解题的关键．
24. 已知函数，，函数称为、的组合函数
（1）求、的图象的交点坐标；
（2）、的图象的交点为、，抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的、的值
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）联立、解析式，即可求解；
（2）分三种情况讨论：若，时；若，时；若，时，即可求解．
【小问1详解】
解：联立得：，
解得：或，
∴、的图象的交点坐标为或；
【小问2详解】
解：由（1）得：、的图象的交点坐标为或，
，
∴抛物线顶点，
如图：

由（1）得：、的图象的交点坐标为或，
∵是等腰直角三角形，
若，时，此时点，
∴，或，
解得：（不合题意，舍去）或无解；
若，时，此时点和分别为和的中点，
∴点和，
∴，或，
解得：或，符合题意；
若，时，此时点和分别为和的中点，
∴点，，
∴，或，无解；
综上所述，符合条件的、的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
25. （1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；
（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可；
（2）作，分别交于点B，C，即可；
（3）根据等边三角形的性质以及，可得，再由，可得，再由，可得，，可证得，从而得到，同理，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，即为所求；

理由：根据作图得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）．
①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；
②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；
③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．
【答案】（1）抛物线的顶点坐标
（2）①；②的长为；③关于的函数表达式为，的最小值是
【解析】
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式即可求解；
（2）①依题意得出，设平移后的抛物线为，将点代入解析式即可求解；
②根据二次函数图象的对称性得出，，即可求解；
③点的横坐标为，由②可得，根据，得，设平移后的解析式为，将点代入得，根据勾股定理得出即关于的函数表达式，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：

∴顶点坐标；
【小问2详解】
解：①∵，点的横坐标为，
令，
∴，
∵平移后的抛物线顶点在直线上，
设平移后的抛物线为，将点代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为
②∵，对称轴为直线
∵点的横坐标为， 关于对称，则，关于对称，则，
∵点在点的左侧
∴
∴的长为；
③∵点的横坐标为，由②可得，
∵，
则
解得，
∴平移后的抛物线顶点在直线上，
设，
设平移后的解析式为，将点代入得，
∴
即
∵





∴表达式为
∴当时，取得最小值，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求顶点坐标，线段长度问题，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键．