四川省成都市双流区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份四川省成都市双流区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共33页。试卷主要包含了考生使用答题卡作答等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年度上期期末学生学业质量监测
九年级 数学试题
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
4．答题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．
A 卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1. 方程x2＝4的解是（　　）
A x＝2 B. x＝﹣2 C. x＝±2 D. 没有实数根
2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则长为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 反比例函数的图象在第（　　）．
A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 二、三象限
4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
6. 从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，已知和是以点O为位似中心位似图形，，的面积为4，则的面积为（　　）

A. 6 B. 10 C. 25 D. 12
8. 如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　）

A B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如果，那么_________．
10. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“”或“
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：的图象当时，y随x的增大而减小，
∵，故，
故答案为：>．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
11. 如图，，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，，是解题的关键．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为点，；
②过点，作直线，交于点；
③连接．若，则菱形的周长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据作图可得是的中点，根据菱形的性质得出是的中点，根据三角形中位线的性质得出，根据菱形的性质即可得周长．
【详解】解：根据作图可知是的垂直平分线，
∴是的中点，
∵菱形的对角线，相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握基本作图是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据实数运算法则进行计算即可；
（2）运用配方法求解即可．
【详解】（1）

；
（2）




∴．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，正确解一元二次方程．
15. 某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点M，在深坑右侧用观测仪从观测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点N．（点E，B，M，N，D，F在同一水平线上）
已知：，观测仪高，观测仪高，，深坑宽度．请根据以上数据计算深坑深度多少米？

【答案】5.5
【解析】
【分析】过点P作PH⊥EF于点H，通过AB∥HP，CD∥HP，得到，从而得到，得到，，利用，1.6HP=17.6-2NH，从而求出HP的长度．即可得到答案．
【详解】解：过点P作PH⊥EF于点H，


∵，PH⊥EF，
∴AB∥HP，CD∥HP，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
即，
∴1.6HP=17.6-2NH，
将代入上式得：1.6HP=17.6-2×0.8HP，
化简得：3.2HP=17.6，
解得HP=5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造三角形相似．
16. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）彤彤抽到A组题目的概率是______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求概率即可；
（2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：彤彤抽到A组题目的概率是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意画出树状图，如图所示：

∵共有9种等可能的情况，彤彤和祺祺抽到相同题目的情况数有3种，
∴彤彤和祺祺抽到相同题目的概率为．
【点睛】本题主要考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6．

（1）求k的值：
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入求得，再把点的坐标代入求出；
（2）当是对角线时，先求出点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当为边时，同样先求出点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标．
【小问1详解】
解：设点，
把代入得，
，即点
把代入得，

【小问2详解】
解：如图，

当是对角线时，即四边形是平行四边形，
一次函数的图象与轴交于点
当时，，即点
，，点的纵坐标为，

当时，

点
当为边时，即四边形是平行四边形，
由得，


当时，

点
综上所述，或
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解题关键是画出图形，全面分类．
18. 如图，在正方形中，，分别是其外角和的平分线，点E在射线上，点F在射线上，连接，，．已知．

（1）求证：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
（2）若为等腰直角三角形，探究线段，之间的数量关系；
（3）当时，请求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作，并截止，连接，证明，，得到即为以线段，，为三边组成的三角形，利用正方形的性质和角平分线平分角，求出，即可得证；
（2）证明，得到，根据为等腰直角三角形，得到，进而求出，之间的数量关系；
（3）连接并延长交的延长线于点，证明均为等腰直角三角形，得到，利用，，为三边组成的三角形是直角三角形，得到，设，得到，进而求出的值．
【小问1详解】
证明：过点作，并截止，连接，
则：，

∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即为以线段，，为三边组成的三角形，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
即：以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形；
【小问2详解】
解：∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：连接并延长交的延长线于点，

则：，
∴，
∵，
∴，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
由（1）知：，
∴，
设，
∴，
解得：或（不合题意，舍掉）
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握正方形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，以及证明三角形相似，是解题的关键．
B 卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知，且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，设，，，代入原式后以达到约分的目的即可．
【详解】设，，，且，
∴


．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的．
20. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 _____cm2．

【答案】9.6
【解析】
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为4×4×0.6＝9.6（cm2），
故答案为：9.6．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21. 若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意得到，，再将所求式子变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22. 已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于，两点在的右侧．是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点．若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，得出，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，

，

，





，
则，
根据对称性可得

∴

故答案：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例数的性质，得出是解题的关键．
23. 如图，在和中，，E为的中点，将绕点O旋转，直线，交于点F，连接，则的最小值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，则，当三点共线时，最小，证明，进而推出，进而得到，根据三角形中位线定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出，进而求出的最小值．
【详解】解：取的中点，连接，

则，
∴当三点共线时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，为的中点，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
（2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元
【解析】
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可．
【小问1详解】
解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元
【小问2详解】
解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”．
25. 如图，在锐角中，，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接．的平分线交于点F，连接交于点G．

（1）求证：
（2）试探究线段，，之间的数量关系；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用，得到，利用等角的余角相等，即可得证；
（2）过点作，交于点，证明，得到，进而推出线段，，之间的数量关系；
（3）证明，得到，利用，求出的长，进而求出的长，过点作，垂足为，证明，求出的长，进而求出的长，利用平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长，作，交于点，得到，求出的长，再证明，求出的长．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作，交于点，

则：，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
过点作，垂足为，
则：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，交于点，

则：，
∴，即：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，正确的添加辅助线证明三角形的全等和相似，是解题的关键．
26. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．

（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
【答案】（1），3
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）首先可知C的坐标，从而得出△OAC的面积，再根据得的值，则可根据反比例函数的k的几何定理，即可解答；
(2)由点A (1，m)在反比例函数图象上，代入A点坐标求出m 值，从而得出A点坐标，则可利用待定系数法求直线AC解析式；
(3)设B (a，b)，分两种情况讨论，即点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴，分别根据相似三角形的判定与性质求出OM和ON的长，从而得出OP的长，即可得出答案．
【小问1详解】
解：（1）∵一次函数y2 = ax + 2与y轴交于C，
∴C(0，2)，
∴OC= 2，
∴，
∵，
∴ ，
∵点B在反比例函数 上，
∴；
【小问2详解】
解： ∵点A (1，m)在反比例函数上，
∴m= 3，
∴ A(1，3)，
将A (1，3)代入一次函数y2 = ax+ 2得，
a+2=3，
∴a=1，
∴一次函数；
【小问3详解】
解：设B(a，b) ，
当点N在y轴正半轴上时，作BH⊥y轴于H，

∴BH∥OM，
∴△NBH∽△NMO，
∴ ，
∵NB=2MB，
∴，
∴ ,ON=3b，
∵OP2=OM·ON，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴，
当点N在y轴负半轴上时，如图，

同理可得， ，ON=OH=b，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴
综上所述，或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识，表示出OM和ON的长是解题的关键，同时包含了分类讨论的数学思想。