模拟试卷汇编09 数列-2022-2023学年高三数学最新模拟考试试卷汇编（新高考专用）

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模拟试卷汇编09：数列解析版
一、单选
1. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列{an}中的首项a1＝2，且满足，则此数列的第三项是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，且，
令，得，
令可得,
故此数列第三项为.
故选：A
2. （2022年广东省佛山市高三模拟试卷）若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（ ）
A. 不在此数列中 B. 第337项 C. 第338项 D. 第339项
【答案】D
【解析】
【详解】数列为，1，，，，…，记此数列为，则它是首项为，公比为的等比数列，
于是得数列通项为：，由得：，
所以是这个数列的第339项.
故选：D
3. （2022年广州番禺高三模拟试卷）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺.
A. 1 B. 1.25 C. 1.5 D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知：十二个节气的日影子长依次成等差数列，
设为，公差为，则
即，
解得，，
所以夏至的日影子长为尺，
故选：C
4. （2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
所以
故选：B
5. （2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】根据等比数列的通项公式可知，，
所以，解得：或（舍），
故选：A
6. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
【答案】C
【解析】
【详解】是等比数列，则，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．
故选：C．
7. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设等差数列的公差为，
由于成等比数列，
所以，，
，解得或（舍去）.
所以.
所以，A选项正确.
，
由于，所以，B选项正确.
，，所以C选项正确，D选项错误.
故选：D
8. （2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（ ）
A. 1078 B. 1068 C. 566 D. 556
【答案】A
【解析】
【详解】设公差为d ，公比为q，
由题，，则，，
联立可解得，，所以，，
∴的前10项和为，
故选：A
9. （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）在各项均为正数的等比数列中，若，则…等于
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】因为数列为等比数列，所以，
所以.
10.（2022年江苏省高三模拟试卷）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，且，则（ ）
A. 6 B. C. 11 D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为公差为的等差数列满足，
所以，
所以，
，
又
所以




，
即，
，，
所以.
故选：B
11. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A. 壬午年 B. 辛丑年 C. 己亥年 D. 戊戌年
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为壬，
由于，余数为4，故100年后地支为午，
综上：100年后的2122年为壬午年.
故选：A
12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
13. （2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为（），且的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】当时，
在上的最大值为：；
当时，由，
所以在上的最大值即在上的最大值为：；
同理，当时，在上的最大值即在上的最大值为：；
当时，在上的最大值即在上的最大值为：；

所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以：，
故选：A
二、 多选
14. （2022·福建省诏安县高三模拟试卷）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或4时，取得最大值
【答案】CD
【解析】
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
15. （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知等差数列的前项和为，且，则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列中最大项为
【答案】ABC
【解析】
【详解】，，，故A正确；
又，故B正确；
，故C正确；
由可得{Sn}中最大项为S6，故D错误．
故选：ABC.
16. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷） 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意知：，故，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，显然，故D错误；
故选：BC
17. （2022年广东省高三大联考模拟试卷）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列的前项和为
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，，A错误；
对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；
对于C，当为奇数且时，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；则，C正确；
对于D，设数列的前项和为，则，
又，，D正确.
故选：BCD.
18. （2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ）
A. 为单调递增数列
B.
C.
D. 当时，数列的前n项和满足
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，因为，
若，则，故是各项为的常数列，与矛盾，
所以，，则，故，即，
所以数列是单调递减数列，故A错误；
对于B，因为，
若，则，故是各项为负数的数列，与矛盾，所以，
又因为数列是单调递减数列，所以是数列中最大的项，所以，
综上：，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
所以，
上述各式相加得，
又，所以，
经检验：，满足，
所以，故C正确；
对于D，由选项A知，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
19. （2022年江苏省高三模拟试卷）设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（ ）
A. 长度为n的0—1序列共有个 B. 若数列是等差数列，则
C. 若数列是等差数列，则 D. 数列可能是等比数列
【答案】AC
【解析】
【详解】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；
因为数列是等差数列，所以为定值，
当，则，则，
当，则，则，
B错误；
若数列是等差数列，则为定值，
只有能满足要求，故，C正确；
若数列是等比数列，则为定值，且，
因为，所以，
，
所以，
若，则，所以，舍去；
若，，，其中，解得：，
，其中，解得：，
故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.
故选：AC

三、 填空题
20. （2022年广州番禺高三模拟试卷）在等差数列中，，，则 ．
【答案】8
【解析】
【详解】设等差数列公差为，
则，
所以，故答案为8.
21. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列满足，，则 ______.
【答案】1023
【解析】
【详解】数列中，
则，，
，，
，
，
故答案为：1023
22．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数__________．
【答案】
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，，则，
也即，可以把可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得．
故答案为：.
23.（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 设数列的前n项和为，写出的一个通项公式________，满足下面两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，就是符合条件的例子，
故答案为：（答案不唯一)
24. （2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列中，，则_______________．
【答案】-3
【解析】
【详解】由题意得，，，，，，，所以数列的周期为6，.
故答案为：-3.
25. （2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知等比数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，则，，
所以，解得，所以；
故答案为：
26. （2022·福建省高三模拟试卷）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
【答案】
【解析】
【详解】解：数列满足，整理得：，
所以，
又，
故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：
27. （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知为等差数列，公差为1，且是与的等比中项，则______．
【答案】
【解析】
【详解】∵是与的等比中项，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
28. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A. 为等比数列 B. 为等差数列
C. 为递增数列 D.
【答案】BD
【解析】
【详解】如图，连交于，

则，即，
所以，所以，
所以，
设，
因，
所以，
，所以，
所以，即，
又，所以，
所以是首项为2，公差为的等差数列，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，
所以为等差数列，故B正确；
因为，
所以为递减数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD
29. （2022年广东省佛山市高三模拟试卷）对于数列定义：，，，…，（其中），称数列为数列的阶差分数列.如果（常数）（），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是2阶等差数列，且，，，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【解析】
【详解】根据题意：，，，
故，故，
，
故.
故答案为：
四、 简答题
30. （2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
（1）求数列，通项公式；
（2）定义，记，求数列的前20项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
【小问2详解】
解：因为，即数列为递增数列，
即数列单调递减，
，，，，，，
，，，，，，
所以当时，当时，
所以，
所以

.
31. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）
（2），最小值为－15
【解析】
小问1详解】
设的公差为，由题意得.
由得：.
所以的通项公式为；
【小问2详解】
由等差数列求和公式得：，
令，，解得：，
令，，解得：，
故当n＝3时，取得最小值，最小值为.
32. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列{an}的通项公式为，.
（1）求数列的前n项和；
（2）设，求前n项和的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是首项为3，公差为6的等差数列，
∴；
【小问2详解】
，
∴
，
∵，
∴，
故的取值范围是.
33.（2022年河北省南宫中学高三模拟试卷） 已知数列的前项和为，等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，；
当时，，当时也符合，所以.
由题意，，
设等差数列的公差为d，则，，故.
综上，
【小问2详解】
由（1）知：，
∵
∴ ①
②
∴得：
即：，
∴.
34．（2022·安徽六安·一模（文））已知正项等比数列单调递增，其前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
(1)
由是正项等比数列且单调递增，结合已知可得：，
，故.
(2)
由（1）可得：，
.
35. （2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知数列满足，数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【详解】解：（1）设数列的前项和为，则．
当时，；
当时，．
当时，显然符合通项，
所以；
因为数列满足，所以，
即为等差数列，
因为，所以公差，
则；
（2）由（1）知，
所以数列的前项和：

．
36. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，若，且，，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，数列的前n项和为，求，.
【答案】（1），；（2），
【解析】
【详解】解：（1）∵，，成等差数列，
∴①，
又∵，，成等差数列，
∴，得②，
由①②得，，
∴，；
（2），
∴，
又，
∴．
37. （2022年广州番禺高三模拟试卷）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
详解】（1）由两式相减，得：
，
又，，
当时，且，
故，得（舍去），
，
数列为等差数列，公差为，
所以 ．
（2）由（1）及题意可得，
所以
]
．
38. （2022年江苏省高三模拟试卷）已知数列的前n项积为，且满足a1＝1，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，证明：＝.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【小问1详解】
因为，则，所以，
显然，所以，即，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
【小问2详解】
由（1）知，，
因此，
由于，所以
故.
39.（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 已知正项数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
由条件可知，,
得，
当时，

，
当时，成立，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
，
两式相减得，


40. （2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列，满足，，且，
（1）求，的值，并证明数列是等比数列；
（2）求数列，的通项公式．
【答案】（1），，证明见解析
（2），
【解析】
【小问1详解】
∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
41.（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知数列为非零数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相除得：，即，
当时，也满足，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，所以，
所以

.
42. （2022年广州第十七中学高三模拟试卷） 已知数列，满足，且．
（1）若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
（2）若数列为等差数列，，求的前n项和．
【答案】（1） 或.
（2）
【解析】
【小问1详解】
数列为等比数列，公比为q，且， ， 或，
由 ， 或 ，
由，所以 ，又 ，
即数列是以1为首项， 为公比的等比数列
故 或
【小问2详解】
依题意得等差数列公差，则，
由，所以 ，
从而
，
.
43.（2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知数列中，，且满足___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析
【解析】
【详解】解：（1）若选①，由，得，
因为，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
若选②，因为，，
所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，
所以，
若选③，因为，，
所以，
（2）若选①，则由（1）得，则
，
若选②，则由（1）得，则
，
，
，
，
若选③，则由（1）得，则
，
，
，
，
44. （2022年广东省高三大联考模拟试卷）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）或（其中），;
（2）.
【解析】
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
由得，
因为是与的等比中项，
所以．
化简得且，
解方程组得或．
故的通项公式为或（其中）；
因为，
所以，，
所以，
因为，满足上式，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以


，
易见随n的增大而增大，从而恒成立，
所以，故的最小值为.
45.（2022年福建省德化一中高三模拟试卷） 数列的前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前n项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：当时，，所以，
因为①，
所以当时，②，
①-②得，
所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
所以，，
设的公差为d，则，所以，
所以，
所以，
设数列的前n项和为，
所以③，
④，
③-④得
，
所以，
又因为数列的前n项和等于，
所以的前n项和为．
46.（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 已知正项等比数列中，为的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：设正项等比数列公比为，则，
则，可得，解得，.
【小问2详解】
解：，
∴，①
又，②
由①②，得，
∴．
47.（2022·福建省高三模拟试卷）设数列是公差大于0的等差数列，为数列的前项和.已知,且，，构成等比数列.
（1）求数列的通项公式：
（2）若数列满足,设是数列的前项和，求满足不等式的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【详解】（1）设数列的公差为，则，
,，即，
又，，成等比数列，
，解得，
，
（2）由，得，
则，
，
两式相减得：，
化简可求得，
解得，的最大值为5.
47.（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 已知数列的前n项和为，且，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【小问1详解】
由，得，则，
又，则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
则，则时，
．
当时，满足上式，所以，的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）可知，数列的首项为1，公比为2的等比数列，则，
由，即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；
当时，，即数列递减，
则的最大值为，所以，实数的取值范围是．
48. （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知正项数列的前项和为，且和满足：.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前项和为，若对任意，都成立，求整数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：∵，①
当时，解得，
∴，②
①－②得，
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
【小问2详解】
解：由（1）可得.
∴.
所以.
∴数列是递增数列，则，
∴，解得，∴整数的最大值是.