初中数学北师大版八年级下册4 角平分线示范课课件ppt

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第一章    三角形的证明课题1.4.1　角平分线的性质定理及判定定理授课人CQY教学目标 探索并理解角平分线的性质和判定．2．会运用角平分线的性质和判定解决有关问题．教学重点利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.教学难点掌握角平分线的性质定理及其逆定理并能进行证明.授课类型新授课课时1课时教学活动教学步骤师生活动设计意图环节一：创设情境、导入新课【课堂引入】如图是小明制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？ 以生活中的实例引入，充分调动学生的学习兴趣，也体现了数学来源于生活．引导学生从三角形全等的角度说明，充分利用此例揭示角平分线的作法．环节二：实践探究、交流新知【探究新知】一、角平分线的性质定理1．将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等．2．证明角平分线的性质．我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．已知：∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：PD＝PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE.3．几何语言∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.定理1  角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．【注意】（1）满足三条件；（2）角平分线的性质定理可用来说明两条线段相等；（3）角的平分线是射线，而三角形的就角平分线是线段.二、角平分线的判定定理想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？（1）写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这一命题的逆命题．（2）判断问题（1）中得到的逆命题是不是真命题．（3）证明“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.（4）角平分线的判定定理用符号语言怎样表示？（5）角平分线的判定定理的特征是什么？已知：P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且PA＝PB.求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连接OP.在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)．∴∠1＝∠2.∴OP平分∠MON，即点P在∠MON的平分线上．几何语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2(OP平分∠MON).定理2  角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【注意】（1）定理中的“距离”是指从角平分线上任何一点（不包括顶点）向角两边所作垂线段的长度，是一个正实数，“距离”两字不能漏掉；（2）不可忽视“在一个角的内部”这一条件，因为在角的外部也存在到角的两边距离相等的点.通过写成已知、求证的形式，使学生分清定理的题设和结论；学生通过独立思考、规范的证明可以加深对定理生成过程的理解与掌握.环节三：开放训练、体现应用【典型例题】　　例1　(教材第29页例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°.在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴DE＝AD＝5.例2　如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD.证明：连接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD.【变式训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的长．解：过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C＝90°，AD平分∠BAC∴DE＝CD∴S△ABD＝AB·DE＝×10·DE＝15，解得DE＝3∴CD＝32.如图所示，已知E，F为AB，AC上的点，且BF⊥AC，CE⊥AB，BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.∴点D在∠BAC的平分线上．通过例题的解决，加深学生对本课知识的掌握，使学生加深对角平分线性质和判定的运用和理解.环节四：课堂检测、巩固新知【课堂检测】1.如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA，垂足为D.若PD＝5，Q为OB上一动点，则PQ的最小值为5．2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)若AD＝5，BC＝4，求四边形ABCD的面积．解：(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E，∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME.∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB.(2)∵BC＝4，∴ME＝BM＝BC＝2.在Rt△AEM和Rt△ABM中，∴Rt△AEM≌Rt△ABM(HL)．同理Rt△DCM≌Rt△DEM(HL)．∴S四边形ABCD＝2S△AMD＝2××5×2＝10.针对本课时的重难点，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.环节五：课堂小结、整体感知1.课堂小结：本节课学到了什么知识？（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．2．布置作业：(1)教材第29页随堂练习第1，2题．(2)教材第30页习题1.9第1，2，3，4题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.板书设计 教学反思