高分突破，智取压轴小题06 与三角函数相关的最值问题

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与三角函数相关的最值问题


一．方法综述
　 三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是解决问题的关键，这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．
二．解题策略
类型一 与三角函数的单调性、奇偶性和对称性相关的最值问题
【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】当时，，
因为函数在区间上单调递增，
正弦函数在上递增，
所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．
2．（2020·山东高考模拟）若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
而值域为，发现
，整理得，则最小值为，选A项.
3．（2020·河南南阳中学高考模拟）设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】函数的图象向右平移个单位后 所以有 ，故选C
【举一反三】
1．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学（文）试题
【答案】B
【解析】，
，，
在上恰有1个最大值点和1个最小值点，
，解得.
故选：B.
2.（2020·河南高考模拟）已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合图象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），
∵f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ，∵|φ|，∴φ，f（x）＝2sin（ωx），
结合图象及五点作图法可知，ω2π，
∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其对称轴x，k∈Z，
∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立，
∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的图象关于x＝a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a
3．已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在上单调递减，
得，
即，
令，则，
当时， ，则，
所以，即，
所以在是单调递减函数，，
得，的最小值为.
故选：D.
类型二 转化为型的最值问题
【例2】（2020·北京人大附中高考模拟）已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题，=，为辅助角，
因为对称轴为，所以
即 解得 ，所以
又因为在上具有单调性，且，
所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
即
所以 ，当时，取最小为，故选A
【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键.
【举一反三】
1、（2020·江西高考模拟）已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意
，
，，，
的最小值为，故选C．
2．（2020·河北高考模拟）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
函数的图象向右平移个单位可得 ，所得图象关于y轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即，
解得=，，
所以，，且，令 时，的最小值为 .故选D．
3．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得，所以，，由于三角形是锐角三角形，所以.
由.所以
，由于，所以，
所以.
故选：C
4.（2020·河北高考模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.
类型三 转化为二次函数型的最值问题
【例3】函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题
【答案】B
【解析】因为，所以
令，则
则
令，得或
当时，；时
所以当时，取得最大值，此时，所以
故选：B
【举一反三】
1．（2020·湖南高考模拟）已知，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，由，得 ，所以.故选：B
2．（2020·江西高考模拟（理））函数的值域为_________．
【答案】
【解析】由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，故函数的值域为：．
3、函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．
【答案】
令， ，设
当即时，
∴（舍），当即时，
∴，当即时， ，
即，∴
∴，综上所述， ，故答案为
4、求函数的值域.
【解析】
[令sinx+cosx=t,则,其中
所以 ,故值域为.
类型四 转化为三角函数函数型的最值问题
【例4】（2020·黑龙江高考模拟）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设中间三项为，则，所以， ，
所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以，故选
【举一反三】设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】设，，
则有


当且仅当时取最小值，即，此时，，
的最小值是，故选：D.
三．强化训练
1．（2020·四川高考模拟）若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为　　
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，
即，
当时，所以，，故选A．
2．（2020·陕西高考模拟）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位，
得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，
故g（x）的最大值为2，最小值为0，
若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．
故有 g（）＝g（）＝2，即 cos2＝cos2＝﹣1，
又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，
则应有 2＝3π，2＝﹣3π，
故 ﹣2取得最大值为+3π＝． 故选A．
3．（2020·甘肃高考模拟）将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．
4．（2020·山东高考模拟）将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，
所以在时，取得最大值，所以有
而，所以的最小值为.
5．（2020·云南高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位，
可得函数，
令，解得
即函数的单调递增区间为，
令，可得函数的单调递增区间为，
又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A.
6．（2020·四川华蓥一中高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由三角函数的性质可得：

，
其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，
函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递增区间为：，
在上为增函数，则：，据此可得：，
则的最大值为2.本题选择B选项.
7．（2020·天津高考模拟）已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得
因为是奇函数，所以是奇函数，即
又因为，即
所以是奇数，取k=1，此时
所以函数
因为在上没有最小值，此时
所以此时 ，解得.故选D.
8．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题
【答案】C
【解析】且，由题意可知，对任意的，，即，即，
，则，，，可得.
当时，成立；
当时，函数在区间上单调递增，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
9．（2020·广东高考模拟）已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
,
函数 在区间内没有零点
(1) ，则 ，
则 ，取 ， ；
（2），则 ，
解得： ，取 ， ；
综上可知： 的取值范围是，选.
10．在中，，边上的高为1，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设BC边上的高为AD，则AD=1，，如图所示：

所以,
所以，
所以，
设，因为，则，
所以
=
=，
因为，所以，
所以，则，
所以，
所以面积的最小值为.
故选：B
11．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】令，原不等式整理得：
，
即，
∴，即，
两边除以得：，
所以
，
因为，故，故为增函数.
又，因此在上递减，上递增，
又，，且，
故.
则.
故选：B.
12．设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
【答案】D
【解析】由题意可得，函数的最小正周期为，，所以，，
由于函数的图象关于点对称，则，
可得，，，，所以.
对于A选项，当时，，
所以，函数在上单调递减，A选项错误；
对于B选项，，
所以，函数的图象不关于直线对称，B选项错误；
对于C选项，当时，，，C选项错误；
对于D选项，，
所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，D选项正确.
故选：D.
13．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范围是．
故选：B．
14．在平面直角坐标系中，已知向量，，点在圆上，点的坐标为，若存在正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ（第三模拟）
【答案】A
【解析】解法一 设，又，所以，且，．
由，得，即，
得．即
由，当且仅当时等号成立，
所以，又为正实数，
解得，所以的最小值为．
解法二 设点，又点的坐标为，
由，得，
，即．
因为，所以，又为正实数，解得，所以的最小值为．
15．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）

A．
B．当时，函数单调递增
C．当，的最大值为
D．当时，
【答案】D
【解析】由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．故不正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
16．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理可知
，又为锐角三角形，
由锐角可知，
，，
利用正弦函数性质知，即的取值范围是
故选：B
17．函数在上的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【来源】天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试（三）理科数学
【答案】C
【解析】
,
因为，所以，所以当时，取得最小值.
故选：C
18．在中，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】有正弦定理得，所以，所以

.
其中，
由于，所以，
故当时，的最大值为.
故选：B
19．向量，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由向量的坐标运算得，所以，
由三角函数的性质得，当且仅当时，等号成立.
所以.故选：B.
20．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________.
【来源】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）数学试题
【答案】
【解析】由于函数的最小正周期为，则，.
不妨取，则.
若函数在区间上单调，则，
若函数在区间上先增后减，则；
若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.
，综上可知，的最小值为.
21．已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
令，则
∴当时，有；有；
由有，有，故；
当时，有；有；
由有，有，故，即；
当时，，
∴：在上递减，上递减，上递增；
：在上递减，上递增；
：在上递减，上递增，上递增；
∴综上，在上先减后增，则，可得
∴恒成立，即的最大值是-1.
故答案为：.
22．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由于，所以，
由正弦定理得，
所以，，
所以
.
当，即时，，没有最大值，所以，
则，其中，
要使有最大值，则要能取，由于，
所以，所以，即，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
23．若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，则的取值范围为___________.
【来源】重组卷01-冲刺2021年高考数学（理）之精选真题 模拟重组卷（新课标卷）
【答案】
【解析】，
由“互补函数”的定义得：存在，，
所以令，则函数在区间上存在至少两个极大值点，
则，得.
当时，即，显然符合题意；
当时，分以下两种情况讨论，
当，即时，，即，所以；
当，即时，，即，所以.
综上，的取值范围为.
24．（2020·陕西高考模拟）若向量,,则的最大值为 .
【答案】3
【解析】根据题意，由于向量,,则可知=，那么化为单一函数可知，可知最大值为3，故填写3.
24．（2020·浙江高考模拟）定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为
【答案】
【解析】由题意可知f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）
将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数
∴2cos（-x+n+）=2cos（x+n+）
∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）-sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=-sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ
∴n=-+kπ，n大于0的最小值等于
25．（2020·安徽高考模拟）已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【答案】15
【解析】由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．
f（x）在区间上有最小值无最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈（，），此时f（x）在时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15，
26．（2020·浙江高考模拟）已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为
【答案】
【解析】由，则，所以f(x)的最小正周期T=
因为，则，这f(x)的最小正周期T=,所以=，所以实数a的最小正值是
27．（2020·横峰中学高考模拟）已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由的三边分别为，，可得：
，，
可知：，
，，，

，

，，，可知

，可知当时，，
则的最大值的取值范围为
28．（2020·江苏扬州中学高考模拟）已知的面积为,且满足，则边的最小值为_______.
【答案】
【解析】∵，∴，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB，
∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB﹣cosAsinB，
即3sin（A+B）＝sinB（sinA﹣cosA），即3sinC＝sinB（sinA﹣cosA），
∴3c＝b（sinA﹣cosA），即c，∵△ABC的面积S＝bcsinA＝
＝（sin2A﹣cosAsinA）＝（1﹣sin2A﹣cos2A）＝，
∴b2＝，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，
∴，∴当即A＝时，b2取得最小值＝12，
∴b的最小值为，即AC最小值为．
29．（2020·安徽高考模拟）设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ，
，① 又成等比数列，，
由正弦定理可得，②
①-②得，
，解得，
由，得，
，为正三角形，
设正三角形边长为，则，
，时等号成立．
即面积的最大值为，故答案为.