高分突破，智取压轴小题27 临界知识问题

这是一份高分突破，智取压轴小题27 临界知识问题，共25页。
临界知识问题

【方法综述】
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】（多选）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，错误的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
【来源】【新东方】在线数学142高一下
【答案】ACD
【解析】A. ，所以，故A错；
B. ，故B对；
C. ，故C错；
D. 在上的投影向量为 ，故D错.
故选：ACD
【例2】（多选）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，，则（ ）
A．
B．
C．是等比数列
D．设，则
【来源】2021年普通学校招生全国统一考试新高考超级联考数学试卷
【答案】ABC
【解析】对A，，，，，，，故A正确；
对B，，
假设成立，
当时，成立，设时成立，即，
则当时，


，假设成立，故B正确；
对C，，
是等比数列，故C正确；
对D，，
同理，
因为斐波那契数列满足，，即，故D错误.
故选：ABC.
【举一反三】
1．（2020•汉中模拟）若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）＝g'（t），则称函数g（x）为f
（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）＝x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值
范围是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2] C．（1，+∞） D．[2，+∞）
【答案】D
【解析】g′（x）＝kx﹣1，由题意g（x）为函数f（x）的“友导”函数，
即方程x2lnx+x＝kx﹣1有解，故k＝xlnx++1，记p（x）＝xlnx++1，
则p′（x）＝1+lnx﹣＝+lnx，
当x＞1时，＞0，lnx＞0，
故p′（x）＞0，故p（x）递增，
当0＜x＜1时，＜0，lnx＜0，
故p′（x）＜0，故p（x）递减，
故p（x）≥p（1）＝2，
故由方程k＝xlnx++1有解，得：k≥2，故选：D．
2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】B

3.集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
① ②
③ ④
其中是“垂直对点集”的序号是________.
【答案】①③
【解析】对于①，，即，与的值域均为，故①正确；
对于②,若满足，则，在实数范围内无解，故②不正确；
对于③
，画出的图象，如图，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故 ③正确；
对于④，，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③.
类型二 高等数学背景型临界问题
【例3】（2020•临沂模拟）已知函数f（x）的图象在点（x0，y0）处的切线为l：y＝g（x），若函数f（x）满
足∀x∈I（其中I为函数f（x）的定义域，当x≠x0时，[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0恒成立，则称x0为函
数f（x）的“转折点”，已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范
围是（　　）
A．[0，e] B．[1，e] C．[1，+∞） D．（﹣∞，e]
【答案】B
【解析】分析：条件，可判断f（x）是一个不凸不凹的函数，满足f''（x）＝0；再结合f（x）的定义域，即可求得a的取值范围．
解：∵[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0，x∈[0，1]；
∴当x＞x0时，f（x）＞g（x）；
当x＜x0时，f（x）＜g（x）；
∴f（x）是一个不凸不凹的函数，满足f''（x）＝0；
∵；
∴f''（x）＝ex﹣a＝0，解得x＝lna；
∵f（x）的定义域为区间[0，1]；
∴0≤lna≤1，解得a∈[1，e]．故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线与其切线的关系，其中涉及到了二次导函数的意义，不易理解。
【例4】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①②
【举一反三】
1．（2020 •青山区校级月考）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），
满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y
＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，
则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：函数f（x）＝3+tx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+tx＝在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出t的取值范围．
解：∵函数f（x）＝x3+tx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+tx＝在（﹣1，1）内有实数根．
由x3+tx＝⇒x3+tx+t﹣1＝0，解得x2+t+1+x＝0或x＝1
又1∉（﹣1，1）
∴x2+t+1+x＝0的解为：必为均值点，即﹣1＜＜1⇒﹣3＜t≤﹣，
﹣1＜＜1⇒﹣＜t≤﹣，
∴所求实数t的取值范围是﹣3＜t，故选：A．
2.（2020衡阳市模拟）若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不是亲密函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】易知幂函数定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四个选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持一致，因为显然在上递增，又，，递增，当，除（显然）外，其他函数的值都趋向于.故选B.
类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
【例5】（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①；②；③；④
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）

【答案】②③④
【解析】

由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同弧长组成，圆心角为 ，半径为 ，因此，因此选②③④
【举一反三】
1.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】

2.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B．
【强化训练】
一、 选择题
1．（多选）记表示与实数最接近的整数，数列通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【来源】湖北省襄阳市第五中学2021届高三下学期5月第二次模拟考试数学试题
【答案】BC
【解析】由题意，记表示与实数最接近的整数，且，
当时，可得，所以A不正确；
由，即，可得，
可得成立，所以B正确；
由，可得，平方可得，
因为，且不是整数，
其中是右侧的最接近的整数，
所以成立，所以C正确；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；

归纳可得数列中，有2个1，4个，6个，8个，
又由构成首项为2，公差为2的等差数列，可得，
令，解得，
所以，所以D不正确.
故选：BC.
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又>0，∴，∴
∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．
∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．
故选D．
3．定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】解因为，所以的可能取值为-1,0,1
同理，的可能取值为
所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：
所以所有元素之和为0，故选B
4.定义：，如，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意得

．故选C．
5．（2020•重庆期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　）

A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】通过扩大几何体，先找到截面，由已知利用勾股定理、重心的相关知识求得边长得答案．
【解答】解：如图将三棱柱三棱柱ABC﹣A1B1C1扩大为如图的正三棱柱，
其中AA''＝2AA1＝4，AH＝2AB＝4，
则点E为AH'的中点，点F为AC''的中点．设H'F∩B1C1＝I，
所以EF∥H'C''，
所以过点A，E，F的截面为AEIF，
因为△ABE和△AA1F均为两直角边分别为2，1的直角三角形，
∴AE＝AF＝＝，
在A1H'D'中，如图：
连接HF，交B1C1于I，连接H'C1，
则I为三角形A1H'C1的重心，
所以B1I＝＝，FI＝，
因为H'C1＝4×sin60°＝2，C1F＝1，所以FI＝＝＝．
又因为B1E⊥平面A1B1C1，
所以三角形EB1I为直角三角形，且EB1＝1，B1I＝，所以EI＝＝，
所以，截面的周长为：2+．故选：B．


6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.
二、填空题
7．（2020•宜昌期末）艾萨克•牛顿（1643﹣1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有
许多杰出贡献．牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）的零点时给出了一个数列{xn}：，
我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1和3，数列{xn}为牛顿数列，，且a1＝3，xn＞3，则数列{an}的通项公式为an＝　　．
【答案】3×2n﹣1
【解析】【分析】根据函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）．有两个零点1和3可将f（x）写成零点式，再利用求得关于xn+1，xn的地推公式，进而根据求得an的通项公式即可．
【解答】解：由函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1和3，得
f（x）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，故f′（x）＝2ax﹣4a．
由题意，得＝＝．
∴＝＝＝．
∴＝＝．
故数列{an}是以a1＝3为首项，公比为2的等比数列，
∴故．
8．（2020•天心区校级模拟）在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号
依次为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同
学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1﹣ak＝k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号
为4的同学看到的像为　　；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出
q＝　　．
【答案】（11，15）； 215
【解析】【分析】由游戏规则中“编号为k的同学看到像为（p，q）中的（ak，ak+1），编号为k+1的同学看到像为（ak+1，ak+2），这样就找到了游戏进行的一个联系，同时注意到ak+1﹣ak＝k（k∈N*），至此，本题中的题意就浮现出来．
【解答】解：（1）由题意规律，编号为1的同学看到的像是（5，6），
∴编号为2的同学看到的像是（6，8），
编号为3的同学看到的像是（8，11），
编号为4的同学看到的像是（11，15）．
（2）设编号为n的同学看到的像是（bn，an），
则b1＝5，a1＝6，当n≥2时，bn＝an﹣1．
由题意an﹣bn＝n，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2）．
∴an﹣a1＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝2+3+…+n＝．
，
，
当＝195时，n＝20，
＝．
9．（2020•漳州模拟）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，
但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归
的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两
个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，
得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：
①数列{Sn}是等比数列；
②数列{Sn}是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＞2018；
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018．
其中真命题的序号是　　（请写出所有真命题的序号）．
【答案】②④
【解析】【分析】通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质．
【解答】解：由题意，得图1中的线段为a，S1＝a，
图2中的正六边形边长为，S2＝S1+×4＝S1+2a；
图3中的最小正六边形的边长为，S3＝S2+×4＝S2+a
图4中的最小正六边形的边长为，S4＝S3+×4＝S3+
由此类推，Sn﹣Sn﹣1＝，
∴{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，
因为Sn＝S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（Sn﹣Sn﹣1）＝a+2a+a++…+
＝a+＝a+4a（1﹣）＜5a，
即存在最大的正数a＝
使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018
即④正确，③错误，故填②④
10.（2020•蚌埠二模）正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点E在棱PA上，且PE＝3EA．正三棱锥
P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为　　．
【答案】3π
【解析】【分析】利用直角三角形的三边，利用勾股定理求出球的半径，再求出球心到点E的距离，当截面圆面积最小时，球心到点E的距离最远（即OE），即可求出最小的截面圆面积．
【解答】解：设Q为正三棱锥底面ABC的中心，球的半径为r，则CQ＝×AC×sin60°＝＝，三角形PQC为直角三角形，∴PQ＝＝＝，设球心为O，连接OP，OE，OA，则在直角三角形OQC中，OC＝r，QC＝r﹣，由r2＝QC2+QO2得：，解得：r＝2．取PA中点F，连接OF，因为OP＝OA＝r，所以OF⊥PA，又因为PA＝4，E为PA的四等分点，所以EF＝1，PF＝2，
所以OF＝＝，OE＝＝，当OE垂直于过E的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为R，则R＝＝，故此时截面圆的面积为πR2＝3π．

11．（2020•杨浦区校级期末）设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等．记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，．设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝　　．（结果用数字作答）
【答案】1835028
【解析】【分析】由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）
＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……
+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215）
＝﹣16×20+﹣15×21+……+﹣2×214+216﹣215
＝217×15+216﹣（2+22+……+215）﹣（16+15×21+……+2×214+215）
＝217×15+216﹣﹣（217﹣18）
＝217×14+20
＝1835028．
12．（2020•余姚市校级期中）对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）•f（a﹣x）
＝1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“τ函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和
1的“τ函数”，且当x∈[0，1]时，f（x）的取值范围为[1，2]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）的取值范围为　　．
【答案】
【解析】【分析】根据“t函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．
【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“t函数”，
则f（x）•f（﹣x）＝1，则f（x）≠0，
且f（1+x）•f（1﹣x）＝1，
即f（2+x）•f（﹣x）＝1，
即f（2+x）•f（﹣x）＝1＝f（x）•f（﹣x），
则f（2+x）＝f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，2﹣x∈[1，2]，此时1≤f（x）≤2，
∵f（x）•f（﹣x）＝1，
∴f（﹣x）＝∈[，1]，
∵f（﹣x）＝f（2﹣x）∈[，1]，
∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[，1]．
即一个周期内当x∈[0，2]时，f（x）∈[，2]．
∴当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[，2]．
13．（2020•浦东新区二模）已知f（x）＝2x2+2x+b是定义在[﹣1，0]上的函数，若f[f（x）]≤0在定义域上
恒成立，而且存在实数x0满足：f[f（x0）]＝x0且f（x0）≠x0，则实数b的取值范围是　　．
【答案】
【解析】【分析】求得f（x）的最值，可得﹣≤b≤0，由题意可得f（x）存在两点关于直线y＝x对称，令直线l：y＝m﹣x，与y＝2x2+2x+b联立，可得2x2+3x+b+＝0在[﹣1，0]上有两个不等实根，由二次方程实根分布可得b的范围．
【解答】解：f（x）＝2x2+2x+b，x∈[﹣1，0]，对称轴为x＝﹣，
可得f（x）的最小值为f（﹣）＝b﹣，f（x）的最大值为f（0）＝f（﹣1）＝b；
由题意f（f（x））≤0，可得即可得﹣≤b≤0，
设y0＝f（x0），可得f（y0）＝x0且y0≠x0，
即有f（x）存在两点关于直线y＝x对称，令直线l：y＝m﹣x，与y＝2x2+2x+b，
联立可得2x2+3x+b﹣m＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为E（x0，y0），
即有，即有E（﹣，m+）在直线y＝x上，
可得m＝﹣，则2x2+3x+b+＝0在[﹣1，0]上有两个不等实根，
设h（x）＝2x2+3x+b+，
可得解得﹣≤b＜﹣．
14．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.
【答案】①②④
【解析】
若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；
若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．
故答案为：①②④
15．已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，，，则，，），记，则__________．
【答案】
【解析】
由题意得共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1
而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1
设其中的数x，转换为二进制后有k个0（）
∴
在这个数中，转换为二进制后有k个0的数共有个
∴
由二项式定理，.
故答案为：.
16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.
【答案】
【解析】
易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，
所以.
当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，
；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以.
由此类推：.
故 .
17．任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.
【答案】4
【解析】
由题，
∵数列{an}是公比大于0的等比数列，且，
①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．
∴，
分别为：，，…，，1，q，…，q4．
∵
∴0++…+＝，
∴q4qq2．
∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．
②0＜q＜1时，1，∴，
分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵
∴log2q2．
∴2．
∴4，
∴a1＝4．
③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．
综上可得：＝4．
18．已知集合 ，集合 满足① 每个集合都恰有7个元素 ; ② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.
【答案】132
【解析】由题意得，集合中各包含7个元素，且互不相等，当取得最小值时，集合中的最小值分别为1,2,3，最大值分别为21,15,9，例如,,，此时最小，且为51.
当集合中最小值为1,7,13，最大值为19,20,21时，最大.例如，，，此时最大，且为81.故最大值与最小值之和为132.
19．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．

【答案】
【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故
故答案为

20．普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为、、、、、，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为、、、、、.给出下列四个结论：
①若的第项记作，的第项记作，其中，则,；
②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；
③的每一项中均不含数字；
④对于，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.
其中所有正确结论的序号是___________.
【来源】北京市海淀区2021届高三二模数学试题
【答案】①③④
【解析】对于①，，，，，，，
，，，，，，
由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，
所以，，①正确；
对于②，若中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为，即，
由题中定义可知，中必有连续三个位置上的数字均为，即，.
以此类推可知，中必有连续三个位置上的数字均为，这与矛盾，②错误；
对于③，由②可知，的每一项不会出现某连续三个数位上都是，故中每一项只会出现、、，③正确；
对于④，对于，，有，，，，，，，
由上可知，记数列的首位数字构成数列，则数列为：、、、、、、、，
且当时，；
记的第项记为，则，，，，，，，，，
记数列的首位数字构成数列，则数列为：、、、、、、、、、，
且当时，.
由上可知，，，，，
所以，当时，，④正确.
故答案为：①③④.