高中3.1 函数的概念及其表示备课课件ppt

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3.1.1 函数的概念（第1课时）
第 3章 函数的概念与性质
人教A版2019必修第一册
01函数的概念
02函数的定义域
目录
03函数的值域
 
1.体会函数是描述变量之间对应关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号.
学习目标
1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
复习引入：
2.初中对函数是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t.
这里，t 和 S 是两个变量是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数.
思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是
w=350 d.
其中，d的变化范围是数集 w的变化范围是数集
对于数集 中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集 中都有唯一确定的工资w与它对应.
问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h 的空气质量指数（AQI）的值 I ？你认为这里的 I是 t的函数吗？
从图3.1-1中的曲线可知，t 的变化范围是数集 AQI 的值 I 都在数集 中. 对于数集 中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集 中唯一确定的 AQI 的值 I 与之对应，因此，这里的 I 是 t 的函数.
你能根据图3.1-1找到中午12时的 AQI 的值吗？
问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
这里，y的取值范围是数集 根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 对于数集 中的任意一个年份y，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应. 所以r是y的函数.
上述问题的共同特征有:
【归纳】上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.
(1)都包含两个非空数集，用A,B来表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域.
一、函数的定义：
显然，值域是集合B的子集.
(1) A, B 都是非空数集；(2) f : A →B确定了集合A到集合B上的函数;(3) 函数的定义域为 A,值域为{f(x)|x∈A} B,而值域{f(x)|x∈A}由定义域、对应关系确定，定义域，对应关系，值域是函数的三要素;(4) 符号y=f(x)的理解： ① y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示,仅是一个函数符号, f(x)不是f与x相乘,例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7； ② f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描述，不同函数中f 的具 体含义不一样.(5) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”“y=h(x)”.
对函数概念的理解：
当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数. 而f(x)是一个随x变化而变化的变量.
(6)与f(a)(a为常数)的区别与联系：
答案：
 
×
×
√
×
C
1.判断所给对应是否是函数
当集合M中的元素为奇数时，按照对应关系，其对应元素为非整数，但在N中无元素与之对应
M中每个元素,在N中都有两个不同元素对之对应
M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，故x→y是函数
反例：M中的元素0在N中没有元素对应
◆定义法判断函数关系判断对应关系是否为函数，主要看以下三个方面：1.A，B必须是非空数集；2.A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；3.A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应.
 
【解】(1)A中的元素－1在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．(2)对于集合A中任意一个正数，在集合B中有两个元素±与之对应，故不是A到B的函数．(3)集合A中元素1在B中没有对应元素，故不是从A到B的函数．(4)集合A中的任意一个元素，按照对应关系f：y＝x，在集合B中都有唯一一个确定的实数x与之对应，故是从集合A到B的函数．
训练题
 
A　　　　 　　B　　 　　　C　　　 　　　D
D
◆判断所给图形是否为函数图象的方法过图形上任一点作x轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.
2.判断两个函数是否为同一函数
【解题提示】分析各选项中每组函数的定义域是否相同；定义域相同则再分析对应关系是否相同.两个条件都满足的是同一函数.
【答案】D
◆判断两个函数是否为同一函数的方法只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数.在具体判断时，（1）先看定义域，若定义域不同，则两函数不同；（2）再看值域，若值域不同，则两函数不同；（3）最后看对应关系，若不同，则不是同一函数.
D
训练题
B
二、已学函数的定义域和值域：
例3
函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式 来描述.
解：把 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B，对应关系f把R中的任意一个数 x，对应到B中唯一确定的数
如果对x的取值范围作出限制，例如 那么可以构建如下情景：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么
其中，x的取值范围是 y的取值范围是 对应关系 f把每一个长方形的边长 x 对应到唯一确定的面积
构建其他可用解析式 描述其中变量关系的问题情景.
探究
解：以10m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为 ，若汽车刹车后 x s内的位移为y m ，则
其中，x 的取值范围是 y 的取值范围是 对应关系 f 把刹车后用的时间 x，对应到唯一确定的刹车后汽车的位移
 
 
分母不为零
二次根号下代数式不小于零
1.已知解析式求定义域
【答案】B
 
 
A
B
训练题
2.求抽象函数、复合函数的定义域
【解题提示】求出函数y＝f（x）的定义域为［-1，3］，然后解不等式-1≤3x-2≤3可得出函数y＝f（3x-2）的定义域.
【答案】A
C
B
C
【答案】D
◆已知函数定义域求参数的思路求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法.化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题.
D
 
4.应用问题中函数的定义域例7 如图3-1-1所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式，并指明这个函数的定义域.
1.已知解析式求函数值
◆求函数值的常用方法1.求函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再代入求值；2.求类似f（g（x））的值，要注意f，g作用的对象，按“由内到外”的顺序求值；3.求抽象函数值要恰当运用赋值法，针对所求的函数值，给予适当赋值.
 
 
 
A.3 B.0 C.1 D.2
【解析】由图象可知g（2）＝1，由表格可知f（1）＝2， ∴ f（g（2））＝f（1）＝2.故选D.【答案】D
 
B
 
 
【答案】D
 
 
◆求函数值域的常用方法1.观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域.2.配方法：对于含二次项的有关问题，常常根据问题的要求，采用配方法来解决.3.判别式法：将函数视为关于自变量的一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数、无理函数等，使用此法要特别注意函数的定义域.4.换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域.5.分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域.
 
B
 
C
 
◆已知函数值或值域求参数值的方法1.注意调整思维方向，根据值域的含义将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题.2.根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围.
 
D
 
1. 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h (单位: m)与时间t (单位: s)的关系为 h=130t-5t2. ①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
解：定义域为A={t | 0≤t≤26}， 值域为B={h | 0≤h≤845}. 对应关系h=130t- 5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数 130t- 5t2.
2. 2016年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示. (1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； (2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度.
解：(1) 如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24，那么函数的定义域为A={t| 0≤t≤24}，值域为B={S | 2≤S≤12}. (2) 9.33 ℃ .
3. 集合A，B与对应关系f如下图所示:f : A→B是否为从集合A到集合B的函数? 如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么?
解：f: A→B是从集合A到集合B的函数， 定义域为A={1, 2, 3, 4, 5}； 值域为B={2, 3, 4, 5}； 对应关系f为问题中的Venn图.