2023中考数学一轮复习专题07 二次方程(精讲学案）（通用版）

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第07讲 二次方程（精讲）



1. 理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程
2. 能用公式法解数字系数的一元二次方程
3. 能用因式分解法数字系数的一元二次方程
4. 经历估计方程解的过程
5. 能用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实根是否相等
6. *了解一元二次方程根与系数关系
7. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
8. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理






















知识点精析
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

考点1：一元二次方程及其根的应用


1. （2021•黑龙江）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为　　
A．0 B． C．3 D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：，
，
由题意得：，，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
2. （2021•聊城）关于的方程的一个解是，则值为　　
A．2或4 B．0或4 C．或0 D．或2
【分析】直接把代入方程得，然后解关于的一元二次方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
整理得，解得，，
即的值为0或4．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3. （2021•广东）若一元二次方程，为常数）的两根，满足，，则符合条件的一个方程为 　（答案不唯一）　．
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【解答】解：若一元二次方程，为常数）的两根，满足，，
满足条件的方程可以为：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4. （2021•长沙）若关于的方程的一个根为3，则的值为 　　．
【分析】把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
5. （2020•毕节市）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是　1　．
【分析】把代入方程计算，检验即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
，
可得或，
解得：或，
当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则的值为1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．



【例题1】 （2021秋•秦淮区校级月考）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：．方程整理，得，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
．是分式方程，故本选项不符合题意；
．是一元二次方程，故本选项符合题意；
．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
【例题2】 （2021秋•大连期中）将方程化成的形式，则，，的值分别为　　
A．1，6，10 B．1，， C．1，，10 D．1，6，
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出、、的值即可．
【解答】解：，
，
，
，
所以，，，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时带着前面的符号．
【例题3】 （2021秋•大田县期中）根据下列表格的对应值：

1
1.1
1.2
1.3



0.84
2.29
由此可判断方程必有一个根满足　　
A． B． C． D．
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【解答】解：时，，
时，，
时，，
即方程必有一个解满足，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【例题4】 （2021秋•秦安县校级期中）已知是方程的一个根，则的值为　　
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】由是方程的一个根，将代入方程，得到关于的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：是方程的一个根，
，，即，，
则．
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【例题5】 （2021秋•铁西区月考）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有根为　　
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【解答】解：对于一元二次方程即，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【例题6】 （2021秋•苏州期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得且，
解得，
故答案为：1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．








【变式1】 （2021秋•普陀区校级月考）关于的方程是一元二次方程，则的值为 　　．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2】 （2021秋•新北区校级期中）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 　3　．
【分析】首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．
【解答】解：方程化成一般形式是，
二次项系数为3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式3】 （2021秋•德惠市期中）将一元二次方程化成一般形式后的常数项是 　　．
【分析】首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为，进而可得到常数项．
【解答】解：，
，
常数项为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式4】 （2021秋•云梦县期中）已知是方程的一个根，则　2020　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，，





．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式5】 （2021秋•静安区校级月考）若关于的方程满足，称此方程为“天宫”方程．若方程是“天宫”方程，求的值是 　　．
【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得“天宫”方程的一个解为，
程是“天宫”方程，
，
，，，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
【变式6】 （2021春•拱墅区校级月考）若是方程的一个根，则的值为　2019　．
【分析】因为是方程的一个根，所以，所以，然后整体代入求值即可．
【解答】解：是方程的一个根，
，
．
原式




．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据条件得，然后整体代入求值是解题的关键．
【变式7】 （2021•汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为　　．
【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：是方程根，
，
，
原式

．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
【变式8】 （2021春•扶沟县期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为　10　．
【分析】根据一元二次方程解的意义将代入求出，进而将方程两边同时除以进而得出答案．
【解答】解：是方程的一个实数根，
，
，
故，
则

．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．






知识点精析
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
考点2：解一元二次方程（1）


1. （2021•赤峰）一元二次方程，配方后可变形为　　
A． B． C． D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：，
，
则，即，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得．
2. （2021•海南）用配方法解方程，配方后所得的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3. （2020•泰安）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则，的值分别是　　
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：，
，
则，即，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4. （2021•西藏）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　　
A．6 B．10 C．12 D．24
【分析】法1：利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可；
法2：利用根与系数的关系求出两根之和，再根据对角线乘积的一半求出菱形面积即可．
【解答】解：法1：方程，
分解得：，
可得或，
解得：或，
菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为；
法2：设，是方程的两根，
，
则这个菱形的面积为．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
5. （2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为　　
A． B．4 C． D．5
【分析】先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：解方程得：或2，

即，，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．
6. （2020•扬州）方程的根是　，　．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：，
，
，．
故答案为：，．
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方求解即可．
7. （2019•威海）一元二次方程的解是　，　．
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：
，
则，
故，
解得：，．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
8. （2021•镇江）一元二次方程的两根分别为 　，　．
【分析】利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．














【例题1】 （2021秋•永安市期中）是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】根据求根公式得到，，，即可得到结论．
【解答】解：是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
，，，
故选：．
【点评】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求．
【例题2】 （2021•河东区二模）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根　　

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【分析】根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，，
，
解方程得，
线段的长是方程的一个根．
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
【例题3】 （2021秋•龙岗区校级期中）方程左边化为两个一次因式的乘积为　　
A． B．
C． D．
【分析】将左边用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题4】 （2021秋•金山区校级期中）方程的根是 　，　．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：，
移项，得，
或，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【例题5】 （2021秋•宜兴市月考）已知关于的方程，，为常数，的两根分别为，1，那么关于的方程的两根分别为 　，　，　　．
【分析】将新方程中类比原方程中的即可得到两个关于的方程，解之即可．根据方程，，为常数，的两根分别为，1，进行转化，即可得到的值，
【解答】解：根据题意知，或，
解得，，
方程，，为常数，的两根分别为，1，
或，
或，
，
解得，，
故答案为：，；0.5．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
【例题6】 （2020•恩平市模拟）规定运算：对于函数为正整数），规定．例如：对于函数，有．已知函数，若，则的值为　　．
【分析】根据新定义得到，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：根据题意得，
即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了阅读理解能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题7】 （2020春•南岗区校级月考）若无实数解，则的取值范围是　　．
【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出的范围即可．
【解答】解：无实数解，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．
【例题8】 （2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程的两个根分别是与，则　　．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【例题9】 （2019•招远市一模）若一元二次方程的两个根分别是与，则　9　．
【分析】利用直接开平方法表示出方程的解，确定出的值，即可求出原式的值．
【解答】解：，
，即方程的两个实数根互为相反数，
则，
解得：，
方程的两根为或，
，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题10】 （2021秋•市南区期中）（1）解方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，即，
，
，．
（2），
，
，，，
△，
，
，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．



















【变式1】 （2020秋•溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根　　
A． B． C． D．
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【解答】解：．此方程的解为，不符合题意；
．此方程的解为，不符合题意；
．此方程的解为，符合题意；
．此方程的解为，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2】 （2021秋•朝阳区校级期中）一元二次方程的根是　　
A． B．， C． D．，
【分析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【变式3】 （2021秋•朝阳区期中）一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式4】 （2021秋•永城市月考）若将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值为 　11　．
【分析】移项，配方，再求出、的值，最后求出即可．
【解答】解：，
，
配方得：，
，
，，
，
故答案为：11．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够正确配方是解此题的关键．
【变式5】 （2012秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，★，则方程3☆★12的解为　　．
【分析】根据题中的新定义将方程化为普通方程，利用完全平方公式将方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：根据题中的新定义得：3☆，★，
所求方程化为：，即，
解得：．
故答案为：
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【变式6】 （2021秋•盐湖区校级月考）如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为 　　．

【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解之求出的值，再结合、的位置取舍即可．
【解答】解：根据题意，得：，
整理，得：，
，，，
△，
则，
，，
点在数轴的负半轴，
，即，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式7】 （2021秋•南川区期中）解方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【分析】（1）将方程变形为，再将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，
，即，
，
，；
（2）整理成一般式，得：，
，，，
△，
，
，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式8】 （2021秋•潍坊期中）根据要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1），
移项，得，
配方，得，
则，
，
，；
（2），
整理得，，
，，，
△，
，
，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．















知识点精析
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、 我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

考点3：解一元二次方程（2）


【例题1】 （2021秋•赵县月考）已知，则的值为　　
A．0 B．4 C．4或 D．
【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
【解答】解：设，则原方程换元为，
，
解得：，，
即或（不合题意，舍去），
．
故选：．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【例题2】 （2021春•高青县期末）已知实数满足，那么的值为　　
A．或1 B．或5 C．1 D．5
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则．
整理，得．
解得（舍去）或．
即的值为1．
故选：．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【例题3】 （2020•凉山州一模），则的值是　　
A．4 B． C．4或 D．或2
【分析】本题可设，则原式可化为，对方程去括号得，解方程即可求得的值，即的值．
【解答】解：设，则原方程可化为：即
解得：或．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．











【变式1】 （2020秋•句容市月考）若，则代数式的值为　3　．
【分析】设，则原方程化为，求出的值，再求出的值，最后得出答案即可．
【解答】解：，
设，则原方程化为：，
解得：，
当时，，解得：或；
当时，，
，
△，此方程无解；
所以的值是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等．
【变式2】 （2019秋•巢湖市期末）已知，则的值为　　
A．或1 B．1 C． D．7或
【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则原方程转化为，
整理，得．
所以或．
解得（舍去）或．
所以的值为1．
故选：．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【变式3】 （2020秋•红山区校级月考）在直角坐标系中，已知点，，满足，则的长为　　
A． B．1 C．5 D．或1
【分析】，设，则用代替方程中的，将原方程转化为关于的新方程，通过解新方程求得即的值即可．
【解答】解：设，则由原方程，得，
整理，得
，即，
解得（舍去）或．
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【变式4】 （2019秋•锦江区校级期末）已知，则　3　．
【分析】设，则由原方程得到：，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则，
整理，得，
所以，
解得．
即：．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．



知识点精析
①根的判别式：
(1)当Δ＝＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝＜0时，原方程没有实数根．
（4）当Δ＝≥0时，原方程有两个实数根
②根与系数关系（韦达定理）：
基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.

考点4：解一元二次方程（3）



1. （2021•宁夏）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式求出的取值即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故实数的取值范围为是．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
2. （2021•烟台）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先由数轴得出，与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得，，，
，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3. （2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数，，，．有，※，，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，※，．若关于的方程，※，有两个实数根，则的取值范围是　　
A．且 B． C．且 D．
【分析】先根据新定义得到，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
整理得，
因为方程有两个实数解，
所以且△，解得且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
4. （2021•遵义）在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1．小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】先设这个方程的两根是、，根据两个根是，1和两个根是5，，得出，，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是、，根据题意得：，，
则以、为根的一元二次方程是．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
5. （2021•玉林）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据判别式的意义得到△，解得，再利用根与系数的关系得到，，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△，解得，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用判别式的意义求出的范围是解决问题的关键．
6. （2021•怀化）对于一元二次方程，则该方程根的情况为　　
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可求出△，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证，两个选项）．
【解答】解：，，，
△，
一元二次方程没有实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△时，方程没有实数根”是解题的关键．
7. （2021•南充）已知方程的两根分别为，，则的值为　　
A．1 B． C．2021 D．
【分析】方法一：由题意得出，，，将代数式变形后再代入求解即可．
方法二：由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．
【解答】解：方法一：方程的两根分别为，，
，，，
，
，
，
，



．
方法二：方程的两根分别为，，
，，
，


．
故选：．
【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
8. （2020•荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为　　
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△可判断方程根的情况．
【解答】解：为实数）是关于的方程，
，
整理得，
△
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
9. （2021•攀枝花）已知方程的两根为、，则　20　．
【分析】由方程的两根为、，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中可求出的值．
【解答】解：方程的两根为、，
，，
．
故答案为：20．
【点评】考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
10. （2021•雅安）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 　　．
【分析】由根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【解答】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
11. （2020•内江）已知关于的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为　　．
【分析】把代入原方程求出的值，进而确定关于的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】解：方程是关于的一元二次方程，

即．
把代入原方程得，
，即：，
解得，，（不合题意舍去），
当时，原方程变为：，即，，
由根与系数的关系得：，又，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．


【例题1】 （2018•福建）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是　　
A．1一定不是关于的方程的根
B．0一定不是关于的方程的根
C．1和都是关于的方程的根
D．1和不都是关于的方程的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出或，当时，是方程的根；当时，1是方程的根．再结合，可得出1和不都是关于的方程的根．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
或．
当时，有，此时是方程的根；
当时，有，此时1是方程的根．
，
，
和不都是关于的方程的根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．




【例题2】 （2021秋•滦州市期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程中的相反数．则原方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是 D．不存在实数根
【分析】利用方程根个定义求出所抄方程的的值为5，则原方程的的值为，所以原方程为，然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况．
【解答】解：根据题意得为方程的一个根，
，
解得，
即所抄的的值为5，
所以原方程的的值为，
则原方程为，
因为△，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题主要考查根的定义和根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．
【例题3】 （2021秋•宝山区校级期中）已知，且关于的方程两根都是整数，则　0或1.5或4　．
【分析】由关于的方程有两个不相等的实数根，可得△，又由，且方程的两个实数根都是整数，可得是整数，是完全平方数，继而求得答案．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
方程的两个实数根都是整数，
是整数，是完全平方数，
，
或或．
故答案为：0或1.5或4．
【点评】此题考查了根的判别式．注意方程的两个实数根都是整数，可得是整数，△是完全平方数．
【例题4】 （2021•周村区二模）已知，，是方程的两根，则的值为 　13　．
【分析】先把方程化为一般式得，再据根与系数的关系得，，接着利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：方程化为一般式得，
根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【例题5】 （2021秋•天河区校级期中）如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么　4　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：为方程的根，
，
，
，
方程的两根分别为，，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【例题6】 （2021•黄石）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解关于的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得．
故的取值范围是；
（2）根据题意得，，
，
，即，
解得，（舍去）．
故的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【例题7】 （2020•无锡）已知关于的方程：为实数）．
（1）求证：对于任意给定的实数，方程恒有两个实数根；
（2）设，是方程的两个实数根，求证：．
【分析】（1）只要证得△，就说明方程有两个的实数根．
（2）利用根与系数的关系即可证明．
【解答】（1）证明：，，，
△
方程有两个实数根．
（2）证明：，是该方程的两个实数根，
，
．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．
【例题8】 （2021秋•交城县期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△，则证明方程计算方程的根的判别式，若△，则证明方程总有实数根；
（2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【解答】解：（1），
整理得：，
，，，
△
；
该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，，
①当为对角线时，，
解得：（不符合题意，舍去），
②当为对角线时，，
解得：，
综上所述，的值为4．
【点评】本题考查了根的判别式，矩形的性质，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解．
【例题9】 （2021秋•中原区校级期中）若关于的方程有实数根，则满足　　
A． B．且 C．且 D．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当时，
，

当时，
△，
，
综上所述，，
故选：．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．



【变式1】 （2021秋•锦江区校级期中）若和是一元二次方程的两根，那么代数式的值为 　　．
【分析】根据韦达定理计算即可得到和，再把变形，用和表示，然后整体代入进行计算即可．
【解答】解：和是一元二次方程的两根，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．
【变式2】 （2021秋•永安市期中）已知、是方程的两个根，则　3　．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，则原式可变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的根，
，
，
，
、是方程的两个根，
，
．
故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．

【变式3】 （2021秋•海陵区校级月考），为方程的两根，则的值为 　2027　．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系及方程的解的概念得出，，再代入原式计算即可．
【解答】解：，为方程的两根，
，，
原式



，
故答案为：2027．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．

【变式4】 （2021秋•郑州期中）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据方程的两个根为不相等的正整数结合为正整数，即可求出的值．
【解答】（1）证明：由一元二次方程得，
△

，
方程总有两个实数根；
（2）解：，即，
解得：，．
方程的两个根为不相等的正整数，
或5．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解．
【变式5】 （2021秋•金山区校级期中）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大非零整数时，求方程的两个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）由（1）的结论可得出可取的最大非零整数为，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．
【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根，
△，
解得：，
的取值范围为．
（2），
当取最大非零整数时，．
当时，原方程为，
解得：，．
当取最大非零整数时，方程的两个根分别为，．
【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）代入的值，利用公式法求出一元二次方程的解．
【变式6】 （2021秋•西城区校级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围．
【分析】（1）进行判别式的值得到△，利用非负数的性质得△，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：依题意，得△．
，
方程总有两个实数根；
（2），
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．



知识点精析
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
考点5：一元二次方程的应用


1. （2021•西宁）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是，那么满足的方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是，
则2019年的用水量为，
2020年的用水量为，
故选：．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
2. （2021•兴安盟）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】平均一人传染了人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【解答】解：设平均一人传染了人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，
根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
3. （2021•福建）某市2018年底森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，那么，符合题意的方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为，根据2018年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4. （2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为　　

A． B．
C． D．
【分析】若设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. （2019•广西）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为　　

A． B．
C． D．
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
6. （2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是　　．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，
依题意，得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．



【例题1】 （2021秋•城阳区期中）某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据该厂10月份及第四季度的总产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，则11月份的口罩产量为，12月份的口罩产量为，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例题2】 （2021秋•汝阳县期中）某商品原来按进价百分之二十的利润定价，进价受原材料价格影响连续两次下跌，售价相应调整为原来售价的八折，利润恰好与原来持平，设进价两次下跌的平均百分率为，则由题意，可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】利用利润销售价格进价，结合调整售价后获得的利润恰好与原来持平，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


【例题3】 （2021秋•苏州期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为元，则所列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，
依题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例题4】 （2021秋•沙坪坝区校级期中）某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设这种鱼饵的售价上涨元，则每包的销售利润为元，每天可销售包，利用每天的销售利润每包的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种鱼饵的售价上涨元，则每包的销售利润为元，每天可销售包，
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


【例题5】 （2021•江州区模拟）在一块宽为，长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为，求小路的宽．设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】设小路宽为米，则花坛的长为米，长为米，所以其面积米，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：设小路宽为米，
根据题意，得．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．
【例题6】 （2021秋•安宁市校级期中）如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是　　

A． B． C． D．
【分析】如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为，
那么耕地的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：，、
整理得：，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．


【例题7】 （2021秋•新丰县期中）有支球队参加篮球比赛，共比赛66场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用比赛的总场次数参加比赛的球队数量（参加比赛的球队数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例题8】 （2021•南阳模拟）某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．



【变式1】 （2018•广西模拟）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是　　．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，设这两天此股票股价的平均增长率为，每天相对于前一天就上涨到，由此列出方程解答即可．
【解答】解：设这两天此股票股价的平均增长率为，由题意得
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【变式2】 （2021秋•将乐县期中）某口罩生产厂家2019年产量为100万个，为支持防疫工作，加大生产，2021年口罩产量为196万个，求该口罩厂家产量的年平均增长率．设该口罩厂家产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】设该口罩厂家产量的年平均增长率为，根据“2019年产量为100万个，2021年口罩产量为196万个”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该口罩厂家产量的年平均增长率为，
依题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


【变式3】 （2020秋•饶平县校级期中）某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
【分析】每件童装降元，每天多销售件，每件利润为元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量每件的利润元，即可列出方程．
【解答】解：每降价2元，多销售6件，
设降价元，则多销售件；
降价后销售件数为件，每件利润为元．
则有，
整理得．
【点评】理解：只要降价2元，就会多销售6件；那么，降价元，则多销售件．
【变式4】 （2021秋•南京期中）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为80元时，可销售100件；售价每提高1元，销售量将减少5件；售价每降低1元，销售量将增加5件．已知商店销售这批服装获利2000元，问这种服装每件售价是多少元？
【分析】设这种服装每件售价是元，则每件盈利元，可销售件，利用商店销售这批服装获得的总利润每件盈利销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种服装每件售价是元，则每件盈利元，可销售件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：这种服装每件售价是60元或90元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5】 （2021秋•常州期中）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
【分析】设商场日盈利达到8000元时，每件商品涨价为元，根据每件商品的盈利销售的件数商场的日盈利，列方程求解即可．
【解答】解：设涨价元，则根据题意列方程得：
，
整理得出：，
，
解得：，
故每件商品的销售定价为：（元，（元；
售价不得超过75元，
每件商品售价为60时，商场日盈利达到8000元．
答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利销售的件数商场的日盈利，列出方程是关键．



【变式6】 （2021秋•浦东新区校级期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？

【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为60米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为米，
依题意得，
，
，
或，
当时，；
当时，，不合题意舍去．
答：该长方形相邻两边长要取10米，6米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【变式7】 （2021秋•西峡县期中）在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，小道的宽为多少米？

【分析】设小道的宽为米，则其他部分可合成长米，宽米的矩形，根据这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合，即可得出小道的宽为1米．
【解答】解：设小道的宽为米，则其他部分可合成长米，宽米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：小道的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


【变式8】 （2021•河南一模）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为　　
A． B． C． D．
【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮转发了个人，第二轮转发了个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
【变式9】 （2021秋•太和县校级月考）某小组各人之间互赠礼物一件，全组共赠送礼物182件，如果全组共有名同学，则根据题意所列方程为　　
A． B． C． D．
【分析】由各人之间互赠礼物一件及全组共有名同学，可得出每人赠送件礼物，再利用全组赠送礼物数人数每人赠送礼物数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：全组共有名同学，且各人之间互赠礼物一件，
每人赠送件礼物．
又全组共赠送礼物182件，
可列方程．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．