2023中考数学二轮复习专题06 二次函数的面积问题

专题06 二次函数的面积问题

一、解答题（共15小题）

1.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）把A（2，0），B（2，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c得

(1)  -2+2b+c=0

(2)  c=-6

解得b=4    c=-6

所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣6；

（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣4/[2×(-＝4，则C（4，0），

所以△ABC的面积＝×（4﹣2）×6＝6．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点

2.已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．

（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）若该二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为C，

①求△ABC的面积；

②若点P为该二次函数图象上位于A、C之间的一点，则△PAC面积的最大值为　　，此时点P的坐标为　　﹣　　　　．

【答案】【第1空】1
【第2空】（m-1，3）

【解答】（1）证明：当y＝0时，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

∵b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，

∴此一元二次方程有两个解，

∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）解：①当y＝0时，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

解得：x1＝m+2，x2＝m﹣2

∵点A在点B的左侧

∴点A、B横坐标分别为m﹣2，m+2

∴AB＝4

配方得y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4

∴抛物线顶点为（m，4）

∴S△ABC＝×4×4＝8；

②设点P横坐标为（a，b），其中b＝﹣a2+2am﹣m2+4

S△PAC＝（a-m+2）+(m-a)(4+b)-×2×4

整理得S△PAC＝b+2m﹣2a﹣4

把b＝﹣a2+2am﹣m2+4代入上式

S△PAC＝﹣a2+2am﹣m2+4+2m﹣2a﹣4

整理得

S△PAC＝﹣a2+2a（m﹣1）﹣m2+2m

∵a＝﹣1＜0

∴当a＝m﹣1时，△PAC面积最大值为1

此时点P坐标为（m﹣1，3）

故答案为：1，（m﹣1，3）

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质

3.二次函数的图象过点（4，﹣5）和（0，3），且与x轴交于点M（﹣1，0）和N，

（1）求此二次函数的解析式；

（2）如果这二次函数的图象的顶点为点P，点O是坐标原点，求△OPN的面积．

【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，

16a+4b+c=-5

c=3

          a-b+c=0

解得a=-1   b=2   c=3

故函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；…（2分）

（2）由（1）得，二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，

则二次函数的顶点为点P（1，4），点N（3，0），

∴S△OPN＝ON×|P纵坐标|＝6．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点

4.已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．

（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）若该二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为C，求△ABC的面积；

【解答】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，

所以该二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）∵y＝﹣（x﹣m）2+4，

∴顶点C的坐标为（m，4），

解方程﹣（x﹣m）2+4＝0得x1＝m+2，x2＝m﹣2，

∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），

∴AB＝4，

∴△ABC的面积＝×4×4＝8．

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质

5.已知二次函数y=x2﹣6x+8．

（1）求此二次函数的顶点坐标；

（2）画出此二次函数的图象．利用图象求出x2﹣6x+8=0的根；

（3）设二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）由配方法可知：y=（x﹣3）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）；

（2）如图所示，

∴方程的x2﹣6x+8=0的根为x=2或x=4，；

（3）由（2）可知：A（2，0），B（4，0）

∴AB=2，

令x=0代入y=x2﹣6x+8，

∴y=8，

∴C（0，8），

∴OC=8，

∴△ABC的面积的面积为AB•OC=8．

【知识点】抛物线与x轴的交点

6.二次函数y＝x2+bx+c的图象交于点（4，﹣3），（﹣1，12）

（1）求二次函数的解析式；

（2）二次函数与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）把点（4，﹣3），（﹣1，12）分别代入y＝x2+bx+c，得

16+4b+c=-3

           1-b-c=12

解得b=-6    c=5

所以，该抛物线解析式是：y＝x2﹣6x+5；

（2）由（1）知，抛物线的解析式是y＝x2﹣6x+5，

所以y＝x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），

所以A（5，0），B（1，0），

所以AB＝4．

令x＝0，则y＝5，

所以C（0，5）．

所以△ABC的面积＝×4×5＝10．

即△ABC的面积是10．

【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征

7.已知二次函数的图象过三点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，16）

（1）求二次函数的解析式；

（2）设这个二次函数的顶点为P，求△ABP的面积；

（3）当x为何值时，y≤0．（请直接写出结果）

【解答】解：（1）设该函数的解析式为y＝ax2+bx+c，

(1)a×(-2)2+b×(-2)+c=0

(2)a×42+b×4+c=0

(3)c=16

a=-2    b=4    c=16

即二次函数的解析式y＝﹣2x2+4x+16；

（2）∵y＝﹣2x2+4x+16＝﹣2（x﹣1）2+18，

∴顶点P的坐标为（1，18），

∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，

∴△ABP的面积是：×6×18＝54；

（3）当x≤﹣2或x≥4，y≤0．

【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征

8.已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，且函数经过点（3，10）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设这个二次函数的顶点为P，求△ABP的面积；

（3）当x为何值时，y≤0．（请直接写出结果）

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），

把（3，10）代入得a×5×（﹣1）＝10，解得a＝﹣2，

所以抛物线解析式为y＝﹣2（x+2）（x﹣4），

即y＝﹣2x2+4x+16；

（2）∵y＝﹣2x2+4x+16＝﹣2（x﹣1）2+18，

∴顶点P的坐标为（1，18），

∴△ABP的面积＝×（4+2）×18＝54；

（3）x≤﹣2或x≥4．

【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点

9.已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是常数）

（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．

（2）若把该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为y＝x2，则m＝　　．

（3）若该二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D，当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

【答案】3

【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，

∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；

（2）将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到原抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3，

∵该二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m，

∴m＝3．

故答案是：3．

（3）令x＝0，则y＝m，即点C的坐标为（0，m）．

∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，

①当直线CD∥AB，则点C与点D的纵坐标相等，

∵点D是顶点，

∴点C与点D重合，

∴对称轴是y轴，

∴﹣-(m+1)/2＝0，即m＝﹣1．

②当点C与点D的纵坐标互为相反数时，△ABC的面积与△ABD的面积相等，

∴[4m-(m+1)2]/4+m＝0，

m＝3±2

综上所述，满足条件的m的值为﹣1或3±2．

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换、二次函数的性质

10.已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x＝1．

又∵函数的最大值为9，

∴抛物线的顶点为C（1，9）．

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），可得a＝﹣1．

∴二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+9，

即y＝﹣x2+2x+8．

（2）

当x＝0时，y＝8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．

过C作CE⊥x轴于E点．

∴S四边形ABCD＝S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE＝×2×8+×（8+9）×1+×3×9＝30．

【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质

11.如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c，

得：-2+2b+c=0

c=-6

解得b=4   c=-6

∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6．

（2）∵该抛物线对称轴为直线x＝﹣4/[2×(-＝4，

∴点C的坐标为（4，0），

∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，

∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6．

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式

12.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A （﹣1，0），B（3，0），C（0，3）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A （﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，

∴(1)a-b+c=0

（2）9a+3b+c=0

(3)c=3

解得a=-1 b=2 c=3，

∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵A （﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，

∵C（0，3），

∴△ABC的面积＝×4×3＝6．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式

13.已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），

（1）求二次函数和一次函数解析式．

（2）求△OAB的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），

∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，

∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，

∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），

∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，

∴二次函数表达式为y＝﹣x2，

（2）在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，

∴G（0，﹣2），

由一次函数与二次函数联立可得

y=-x-2

y=-x2

解得x=-1 y=-1

或x=2  y=-4

∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式

14.如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．

【解答】解：（1）根据题意得：

1+b+c=0

c=3

解得：b＝2，c＝﹣3，

∴y＝x2+2x﹣3；

（2）∵当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1．

∴B（﹣3，0），

又A（1，0），C（0，﹣3），

∴AB＝4，OC＝3．

∴△ABC的面积为×4×3＝6；

（3）∵AB＝4，△ABP的面积为10，

∴AB边上的高为5，

即点P的纵坐标为5或﹣5．

∴x2+2x﹣3＝5或x2+2x﹣3＝﹣5，

方程x2+2x﹣3＝5的解为：x1＝﹣4，x2＝2，

方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解．

∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．

【知识点】二次函数综合题

15.已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+3的图象过点（2，﹣1），

（1）求此二次函数的解析式；

（2）画出这个二次函数的图象；并确定y＞0时，x的取值范围？

（3）设此二次函数图象与x轴交点分别为A、B（A在B左侧）与y轴交点为C，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（m﹣1）x+3的图象过点（2，﹣1），

∴﹣1＝22+（m﹣1）×2+3，

解得，m＝﹣3，

∴此函数的二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1），

当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝1，x2＝3，

∴该函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），

这个二次函数的图象如右图所示，

由图象可得，y＞0时，x的取值范围x＜1或x＞3；

（3）∵此二次函数图象与x轴交点分别为A、B（A在B左侧）与y轴交点为C，

∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0，3），

∴△ABC的面积是：（3-1）×3/2＝3．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征