2021-2022学年广东省肇庆市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省肇庆市第一中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，，，，∥，则的值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量平行的坐标表示公式计算即可.

【详解】由∥，得，即.

故选：C.

2．是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得.

故选：D.

3．已知向量，，则向量与夹角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】，，

，

又因为，

所以.

故选：D

4．已知一组数据如下：，则该组数据的方差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出平均数，再根据平均数计算即可求得方差.

【详解】，

故选：A

5．若向量，满足：，，，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据平面向量数量积的几何意义求出在上的投影，然后结合向量的数乘运算即可求出结果.

【详解】在上的投影为，

所以在上的投影为.

故选：D.

6．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，列出所有可能结果，结合古典概率计算即可.

【详解】根据题意可知，所有抽取结果如下：

（1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），

（1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2），

（1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3），

（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），

共20种结果，其中两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数有12种，

故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为.

故选：B.

7．在边长为1的正方形ABCD中，向量，则向量的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，可以求得向量的模长，然后求得数量积，从而求得向量夹角.

【详解】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，

则，，，

则由知，

则

故向量的夹角为

故选：B

8．已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意知，，，，

由是线段上的点，设，且，

因此，，

故，

因，所以当时，取最小值.

故选：B.

二、多选题

9．人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策.下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则下列说法正确的是（    ）

A．年均增长率逐次减小

B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是

C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小

D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大

【答案】BD

【分析】根据折线图判断增幅，根据条形图判断人口数，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A：由折线图知年均增长率先增大后减小，故选项A不正确；

对于B：由折线图知：第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差

，故选项B正确；

对于选项C：由条形图知这七次普查的人口数逐次增加，由折线图知：第七次增幅最小，故选项C不正确；

对于D：由条形图知第七次普查的人口数最多，由折线图知第三次增幅最大，故选项D正确；

故选：BD.

10．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（    ）

A．若为纯虚数，则实数a的值为2

B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是

C．实数是（为的共轭复数）的充要条件

D．若，则实数a的值为2

【答案】ACD

【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误

【详解】

∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确

选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误

选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确

选项D：时，有，即，故正确

故选：ACD

【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围

11．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．向量，夹角为

【答案】AC

【分析】先由题给条件求得，从而得到选项A判断正确，选项D判断错误；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C.

【详解】由，可得，

又，则，

即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；

，则选项B判断错误；

，则选项C判断正确.

故选：AC

12．如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为90°

B．平面截四面体所得截面周长不变

C．平面截四面体所得截面不可能为正方形

D．该四面体的外接球表面积为

【答案】AB

【分析】A选项：根据等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到平面，最后利用线面垂直的性质即可得到；

B选项：利用线面平行的性质定理得到，，即可得到四边形为矩形，再利用相似得到，即可得到周长为定值；

C选项：当，，，为棱中点时，利用中位线的性质得到，即可得到四边形为为正方形；

D选项：将四面体的外接球问题转化为长方体的外接球问题，然后根据半径求外接球的表面积即可.

【详解】

A选项：取中点，为等腰三角形，那么，同理，，且，平面，平面，那么平面，而平面，所以，A正确；

B选项：如图，设平面与四面体的各棱的交点分别为，，，，

由∥平面，且平面，两个平面的交线为，则，同理，，，四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，

∴①，②，又

∴①＋②得：，∴周长为，B正确；

C选项：当，，，为棱中点时，，四边形为为正方形，C错；

D选项：如图，四面体的外接球为长方体的外接球，，故外接球的表面积为，D错．

故选：AB.

三、填空题

13．求若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的70%分位数为______．

【答案】7.5##

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】因为，所以这组数据的70%分位数为.

故答案为：7.5.

14．某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是，则正方体石块的棱长为______．

【答案】

【分析】设正方体石块的棱长为，该石凳的体积是正方体的体积减去个三棱锥的体积，即可求解.

【详解】设正方体石块的棱长为，则每个截去的四面体的体积为．

由题意可得，解得．故正方体石块的棱长为．

故答案为：.

15．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.

【答案】

【分析】在中，分析边角关系可得，在中，由正弦定理可求得的值，然后在中，利用余弦定理可求得的长.

【详解】在中，，，，

，则，

在中，，，，则，

由正弦定理得，可得，

在中，，，，

由余弦定理得，因此，（千米）.

故答案为：.

【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

16．如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为____________.

【答案】

【分析】如图，取中点，连接、，利用，即可得就是直线与平面所成的角，解即可．

【详解】如图，取中点，连接、，则，

∵平面，平面，

，平面，

，

就是直线与平面所成的角，

，．

故答案为：．

四、解答题

17．在中，角的对边分别为，.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）3.

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；

（2）利用三角形面积公式得到，再由余弦定理求出，即可求出三角形的周长；

【详解】解：（1）将展开得

，

由正弦定理得，

由余弦定理得因为，

所以

（2）根据余弦定理，

因为的面积为，所以

因为，所以，解得

的周长为

18．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.

(1)求证：OE∥平面BCC1B1.

(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用线面平行的判定定理，通过中位线平行得到，从而得到平面；（2）要证明线线垂直，则证明平面线面垂直，所以根据线面垂直的判定定理，找到，则得证．

【详解】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，

又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

所以OE∥平面BCC1B1.

(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，

所以AC1⊥BC.

19．某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成组：，，，，，，（时间均在内），已知上述时间数据的第百分位数为.

（1）求的值，并估计这位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人，求两个人来自不同组的概率.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由题知，，进而解得，再估计平均数即可；

（2）由题知抽取的个人中，来自第二组共有个人，第四组共有个人，再根据古典概型计算求解即可.

【详解】解：（1）因为，所以；

又因为时间数据的第百分位数为，

所以，则，

于是，

所以平均值为；

（2）由于第二组和第四组的频率之比为：，

那么分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有个人，设为，第四组共有个人，设为，

则从个人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，

其中人来自不同组的事件有，，，，，，，共个，

故所求概率为.

20．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．

(1)用，表示，；

(2)如果，，且，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；

（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出.

【详解】（1）解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，

所以，

.

（2）解：由（1）可知，，

所以，由，可得，

所以

．

21．四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，如图甲，以AC为折痕，将平面ABC翻折到AB'C的位置，如图乙，得到三棱锥B'﹣ACD，M为B'C的中点，DM＝．

（1）求证：OM//平面AB'D；

（2）求证：平面AB'C⊥平面DOM；

（3）求二面角B'﹣CD﹣O的正切值．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3）

【分析】（1）由已知可得，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；

（2）求出，通过勾股定理可得，结合，可证平面，即可证明结论；

（3）根据（2）可得平面，在平面中，过点作交于点，连接，可证二面角B'﹣CD﹣O的平面角为，求出，即可得出结论.

【详解】（1）证明：∵ 点是菱形ABCD的对角线的交点，

∴ 点是AC的中点，∵ M为B'C的中点

∴ ,∵平面，

平面，∴ OM//平面AB'D；

（2）证明：在中，∵，

∴ ,

在菱形中，∵ ∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，

∴ ，

∵ DM＝，∴ ，

∴ ，又∵ ，

∴ 平面，∵ 平面,

∴ 平面AB'C⊥平面DOM

（3）又（2）可知平面，∴ 平面AB'C⊥平面，

∵ ，平面平面

∴平面

在平面中，过点作交于点，连接，如图

,

平面，

∴二面角B'﹣CD﹣O的平面角为，

由题意可知：，，，

，，

∴ ，

∴ 二面角B'﹣CD﹣O的正切值：.

【点睛】本题考查了线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角的正切值，是中档题.

22．中，的面积为.

（1）求

（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.

【答案】（1）;（2）

【解析】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可；

（2）设，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再将的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.

【详解】解：（1）因为

所以，

又，所以，

由余弦定理得：，

所以；

（2）设，则，

在中，由正弦定理得：，

即，所以，

在中，由正弦定理得：，

由（1）可得，

则，所以，

所以

，

当时，，

故的面积的最小值为.

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.