2021-2022学年山西省太原市实验中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省太原市实验中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．下列三个结论中，正确结论的序号的是（    ）

①数列，，，，，，是无穷数列；

②任何数列都能写出它的通项公式；

③若数列是等差数列，则数列是等比数列.

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【分析】根据无穷数列的定义判断①，根据数列的定义判断②，根据等比数列的定义判断③.

【详解】解：数列，，，，，，表示数列有无穷项，所以是无穷数列，故①正确；

不规则数列无法求出其通项，故②错误；

若数列是等差数列，设公差为，所以，整理得，

所以（常数），故数列是等比数列，故③正确.

故选：B

2．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　  　)

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到，进而可求出结果.

【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，

设所求抛物线方程为：，

因为其以为焦点，所以，因此；

故抛物线方程为：.

故选：A

【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.

又因为椭圆与双曲线有公共焦点，

双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.

由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.

故选：B.

4．在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，.

∵，即，∴.又，∴.

∴，

∴.

∴数列的前项和为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键.

5．已知数列是等差数列，为其前项和.且，，若，则的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】先设出等差数列的通项公式，再由已知条件列求出等差数列的公差，然后由即可求出的值.

【详解】解：设

因为，

得

即

解得：

因为

得

即

解得：

故选：C.

6．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.

【详解】由题意，数列满足，即，

所以数列为等差数列，

设等差数列的公差为，则，

所以数列的通项公式为，

令，即，解得，

所以当时，，当时，，

所以数列中前项的和最大，故选C.

【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

7．已知数列、满足，其中是等差数列，且，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解析：由题设可得，即，由等差数列的通项的性质可得，所以，应选答案B．

8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，由得，从而可求得，，再由面积公式得结论．

【详解】设，，直线的方程为，将代入，消去可得，所以，．

因为，所以，所以，则，，所以，所以，

又，所以的面积．

故选：D．

【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．

即设，，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得，再结合已知求出，然后求出三角形面积．

9．已知点是双曲线的左焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若点为的中点，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设直线方程，过点M作轴于H，由已知条件得，利用可求得离心率.

【详解】设直线方程为，依题意得，

过点M作轴于H，点为的中点，则，

所以，

又当，代入双曲线中得，解得，

所以，

即有，所以，等式两边同除以，有，

解得（舍去）

所以双曲线的离心率.

故选：D.

10．记数列的前n项和为，，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】根据与的关系式证明数列为等比数列，从而求.

【详解】依题意，

当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；

当时，由得，

两式相减，得，即，所以，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，.

故选：A.

11．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.

【详解】双曲线的渐近线，右焦点，

依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，

由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，

过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，

则有，

在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，

显然，当且仅当点与点重合时取等号，

所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.

12．已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由椭圆的方程得椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为, 代入椭圆方程中利用求得三角形面积关于表达式，令,转化为的函数，利用基本不等式求得三角形AOB的面积最大值，乘以2就是所求四边形的面积的最大值.

【详解】由已知得若，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为,代入椭圆方程中并整理得：

,

，

令,,当,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时面积取得最大值为，∴四边形AOBE的面积最大值为.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆中四边形面积最值的求解问题，关键是能够将所求四边形面积转化为三角形面积，并表示为关于某一个变量的函数的形式，利用换元思想转化后利用基本不等式求得面积的最值.

二、填空题

13．已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为 _________．

【答案】或

【分析】如图所示，F（1，0）．由|AF|＝4，可得xA+1＝4，解得xA，代入抛物线方程可得yA．可得点A的坐标．

【详解】如图所示，F（1，0）．

∵|AF|＝4，∴xA+1＝4，解得xA＝3．

代入抛物线方程可得，或．

故点的坐标为或

故答案为或

【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．

【答案】

【分析】设，，则，，利用点差法可求出直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程.

【详解】设，，则，，

则 ，两式相减得，

，

所以直线的方程为即，

代入满足，所以直线的方程为.

故答案为：.

15．已知数列{an}的通项公式，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.

【答案】4或5

【分析】假设第项为最大项，则，代入通项公式解不等式组即可得结果.

【详解】假设第项为最大项，则

即

解得，即4≤n≤5，

又，所以n＝4或n＝5，

故数列{an}中a4与a5均为最大项.

故答案为：4或5

【点睛】本题考查了用不等式法求解数列中的最大项问题，考查了学生的运算求解能力.

16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为 ，

设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_____;

【答案】.

【详解】试题分析：数列是取和中的最大值，据题意是数列的最小项，由于函数是减函数，函数是增函数，所以或，即或，解得或，所以．

【解析】分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题．

三、解答题

17．已知抛物线的焦点为.

（1）求.

（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.

【答案】（1）4；（2）16.

【解析】（1）由题可得，即可求出；

（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.

【详解】（1），则由抛物线性质得，

∴，∴，

即的标准方程是.

（2）由题意得，抛物线的焦点为，

∴的方程为，，，

，

，，

∴.

综上所述，线段的长度为16.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

18．已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2 000.

（1）请用an，bn表示an＋1与bn＋1；

（2）证明：数列{an－2 000}是常数列．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）凡是在这星期一选种菜的，下星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜，即可求得，；

（2）由，将，代入，整理即可得到，由，故数列是常数列．

【详解】（1）由题意知：，，

（2）证明：，且，

，

，

，

又，

数列是常数列．

19．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由题意可得，

即，

解得：，∴，

∴数列的通项公式为．

（2），

==．

20．已知等差数列{}的前n项和为，且＝4，＝－5.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若，求的值和的表达式．

【答案】(1)；(2)，.

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据＝4，＝－5求解；

 (2)由，分，讨论求解.

【详解】解：（1）等差数列的公差为，

因为＝4，＝－5，

所以，

解得，

则，.

(2)当时， ；

当时，.

则.

当时，；

当时，.

即.

21．已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

【答案】（1）    （2）证明见解析

【分析】(1) 设,根据条件可得，即，代入抛物线方程，即可求出答案.

(2) 设的方程为：，,由方程联立可得，根据，可得，从而得答案.

【详解】（1）设，根据抛物线的定义可得

又轴于点，则

，所以 ，则

所以，由在抛物线上，，解得

所以抛物线的方程为

（2）证明：点在抛物线上.

设的方程为：，

由 得

所以，整理得

将代入得，即.

所以直线恒过定点

【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题.