2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线的斜率不存在，即得倾斜角.

【详解】直线的斜率不存在，其倾斜角为.

故选：.

【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.

2．下列说法正确的是（    ）

A．到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆

B．到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆

C．到点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆

D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆

【答案】C

【分析】选项，到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；选项，轨迹不存在，所以该选项错误；选项，该轨迹是椭圆，所以该选项正确；选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．

【详解】对于选项，，故到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；

对于选项，到点的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；

对于选项，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；

对于选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．

故选：C

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和轨迹，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．在等差数列中，已知，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列通项公式求即可.

【详解】由等差数列通项公式知：.

故选：A

4．已知圆与直线相交于两点，则弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用几何法弦长公式计算可得结果.

【详解】因为圆的圆心，半径，

所以圆心到直线的距离为，

故弦长.

故选：C.

5．已知数列满足，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据递推关系式和，分别求得，即可得的值.

【详解】解：因为，，则，，所以.

故选：B.

6．圆与圆的公切线有（    ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】C

【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为，故两圆外切，

故圆与圆的公切线有条.

故选：C.

7．已知点P是抛物线上的一动点，焦点为F，若定点，则当P点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，根据抛物线的定义可求最小值

【详解】如图，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，

则，当且仅当共线时等号成立，

故的最小值为，

故选:A

8．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则双曲线离心率的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出两点的纵坐标，由是锐角三角形可得，从而得到关于离心率的不等式，求得答案.

【详解】在双曲线中，

令，得，

所以两点的纵坐标分别为，

由是锐角三角形，

可得，即，

所以有，

而在双曲线中有

所以，即，

同除得，，

解得，

又，

所以，

故，

故选A.

【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题.

二、多选题

9．已知数列的通项公式为，则（    ）

A． B．是该数列中的项

C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列

【答案】AB

【分析】对于A，取值即可判断；

对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；

对于CD，列出的前3项即可判断.

【详解】因为，

对于A，当时，，故A正确；

对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；

若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；

对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；

对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.

故选：AB.

10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．的焦点坐标为， B．的长轴长为

C．直线的方程为 D．

【答案】CD

【分析】由题意可求得判断AB，利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C，联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D

【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB错误，

设，则，，

两式作差得，

因为为线段的中点，所以，，

所以，

所以直线的方程为，即，所以C正确，

由和，得，则，

所以，所以D正确，

故选：CD

11．直线与直线相交于点P， 则点P到直线的距离可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】联立方程组求出交点的坐标，然后求出动直线恒过的定点，最后利用两点的距离公式即可求出所求点到直线的最大值．

【详解】解：，解得，

所以点的坐标为，

而直线，即，恒过点，

如图，点到直线的距离，

所以点到直线的距离最大值为.

故选：AB．

12．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点.以下结论正确的有（     ）

A．圆的半径为

B．的最小值为

C．当时，直线的方程为

D．为定值

【答案】ABD

【分析】对于A，根据相切条件可知半径为点A到直线的距离；对于B，根据弦与圆的关系判断在何时去最小值，再根据最小值条件计算出；对于C.根据条件可知点A到直线的距离，假设出直线的方程，根据点到直线距离公式即可求出的方程；对于D先简化，再讨论直线是否存在时点的坐标，代入向量中计算即可.

【详解】对于A.根据点到直线距离公式可知，故A正确.

对于B. 为圆A的弦，又已知是的中点，故为直角三角形，其中为斜边，，欲求的最小值，即是求的最大值，因为动直线绕点旋转，故当与点重叠时最大，，此时

故，故B正确.

对于C.由B可知当时，

设直线方程为：，圆心到直线的距离为

解得或，则直线方程为：或，故C错误

对于D.由圆与弦关系可知 ，所以

当直线的斜率不存在时，，则，且

可得

当直线的斜率存在时，设直线方程为：

联立方程，得，则

，故D正确.

故选：ABD

【点睛】圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.

三、填空题

13．双曲线的渐近线方程为_________．

【答案】  （，或或或两个分开写，均给满分）

【解析】由渐近线方程公式直接求解.

【详解】由双曲线方程可知，，则

渐近线方程.

故答案为： （，或或）

14．已知m是实数，若方程表示的曲线是圆，则m的取值范围是__________ ．

【答案】.

【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出m的取值范围.

【详解】因为方程表示的曲线是圆，

所以，解得，

所以m的取值范围为，

故答案为：.

15．在等差数列中，为其前项和.若，则______ ．

【答案】14

【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的性质可得结果.

【详解】因为是等差数列，

所以.

故答案为：.

16．已知实数满足，则的最大值为________．

【答案】

【分析】利用配方法将转化为到圆上一点的距离的平方减4，从而利用几何法即可求解.

【详解】因为，

所以可将看作是点到点的距离的平方减，

又因为，所以点是圆上的任意一点，

而圆的圆心，半径，如图，

易得，

所以点到点（即圆上的点）的最大距离为，

所以的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知两条直线，求为何值时，两条直线

(1)平行；

(2)垂直.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可.

（2）根据题意得到，再解方程即可.

【详解】（1）因为，斜率存在，

因为，，解得或.

（2），

当时，，，，不垂直.

因为，所以，解得.

18．已知圆C：

(1)与直线平行，求此时切线l的方程；

(2)过圆外一点P（）作圆C的切线，求此时切线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）首先设出直线方程，再结合直线与圆相切的条件，即可求解.

（2）首先根据题意，分别讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接求出直线方程，当斜率存在时，先利用点斜式设出方程，再利用直线与圆相切的条件，即可求解.

【详解】（1）由题意知，圆心为C，半径 设切线：

圆心C到切线的距离 ，

所求切线：.

(2)当的斜率不存在时，此时的方程为，

C到的距离，满足条件.

当的斜率存在时，设斜率为，得的方程为，即，

则 ，解得.

∴的方程为，即.

综上，满足条件的切线的方程为或.

19．已知直线L: y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），

（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；

     （2）若OA⊥OB ，求m的值；

【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.

【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；

（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．

【详解】(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)

直线L: y＝x＋m过点(2,0)，得m=−2,

直线L:y=x−2与抛物线y2=8x联立可得x2−12x+4=0，

∴x1+x2=12, x1x2=4，

∴.

(2)联立，得

.

∵OA⊥OB,∴

.

m=0或m=−8,

经检验m=−8.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂直关系，属于基础题.

20．已知数列的前项和公式为.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列，求数列的前项和的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；

（2）令，解出的范围，即可求得的最小值.

【详解】（1）解：当时，；

当时，，

满足，故对任意的，.

（2）解：，令，解得，

且，所以，数列为等差数列，

所以，的最小值为.

21．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m．

(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程；

(2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？

【答案】(1)；

(2)船身应降低m，才能安全通过桥洞．

【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A，B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；

（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度，再由，可知船身应降低的高度

【详解】（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，，

设拱桥所在的抛物线方程为，

因点在抛物线上，代入解得，

故拱桥所在的抛物线方程是；

（2）因，故当时，，

故当水位暴涨后，船身至少应降低，

故船身应降低m，才能安全通过桥洞．

22．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，利用椭圆的离心率可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知条件结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出面积的值或最大值；在直线的斜率不存在时，求出点、的坐标，可求得的面积，综合可得出结果.

【详解】（1）由椭圆的定义得，所以，

因为椭圆的离心率为，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入椭圆方程得，，

设、，则，，

由，得，得，

所以，

即，即，

所以或.

原点到直线的距离为，

①当时，则，

此时

，

当且仅当，即时等号成立；

②当时，，

此时；

当直线的斜率不存在时，设，则，

由，得，又，所以，.

不妨取，，则.

综上可知，面积的最大值是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．