2022-2023学年北京市北京中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市北京中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无数个

【答案】C

【分析】利用列举法表示出集合，即可判断；

【详解】解：，

故集合中含有个元素；

故选：C

2．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义以及常见函数的单调性，即可容易判断得解.

【详解】对A：当时，没有意义，故错误；

对B：的定义域为，定义域不关于原点对称，无奇偶性，故错误；

对C：，其定义域为，关于原点对称，且，

故为奇函数，又当时候，是单调增函数，故正确；

对D：定义域为关于原点对称，但，故不是奇函数，故错误.

故选：C.

3．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．

4．函数=的零点所在的区间是（    ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)

【答案】C

【解析】根据的单调性和零点存在性定理，判断出正确选项.

【详解】依题意在上的增函数，且，

即，所以的唯一零点在区间.

故选：C

【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.

5．等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件可得，求出，再利用通项公式，即可得到答案；

【详解】由，，

有即

则，

故选：.

6．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

7．中，内角所对的边分别为.若则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知求出，即得解.

【详解】因为

所以，

所以，

所以的面积.

故选：C

8．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值

【详解】解：如图设函数的部分图像与轴的交点为，

由图可知，所以，

所以点与点关于点对称，

设，则，解得，

因为将函数函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数的图像，且图像关于原点对称，

所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图像与轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为，

所以，

故选：B

9．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

10．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（       ）

（参考数据：，）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.

【详解】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，

所以所求，

由，即，

所以，即，

所以，

因为，所以最小为，

所以至少经过小时才可以驾车，

故选：B.

二、填空题

11．函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】根据二次根的被开方数非负，分式的分母不为零，对数的真数大于零，列不等式组可求得结果.

【详解】根据题意得

，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

12．函数的图象在点处切线的方程为___________.

【答案】

【分析】利用导数求得切线方程.

【详解】切点为，

，

故切线方程为，即.

故答案为：

13．设,且,则的最小值为______.

【答案】

【分析】直接利用基本不等式即可求出最小值.

【详解】因为，

所以（当且仅当时取等号）

所以的最小值为.

故答案为：

14．如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P（x1，y1），将角α的终边顺时针旋转得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q（x2，y2），则x2﹣x1的取值范围为_____．

【答案】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得再利用正弦函数的定义域和值域，求出的取值范围.

【详解】由已知得，

∴，

∵，∴，∴，

∴的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

15．已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________

【答案】

【分析】作出函数的图象,将问题转化为函数与有4个不同的交点，由图示可得答案.

【详解】解：作出函数的图象如下图所示，令，则，

若函数恰有4个不同的零点，则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，

故答案为：.

三、双空题

16．已知平面向量与的夹角为，，，则___________；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为___________.

【答案】     1    

【分析】由结合已知条件可求出；先求出和，然后利用面积公式可求出平行四边形的面积.

【详解】因为平面向量与的夹角为，，，

所以，

，，

，

所以，

因为，

所以，

所以平行四边形的面积为，

故答案为：1；.

四、解答题

17．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的值；

(2)角的大小和的面积.

条件①：；条件②：.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，

（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，

【详解】（1）选择条件①

因为，，，

由余弦定理，得，

化简得，

解得或（舍）.

所以；

选择条件②

因为，，

所以，

因为，，

所以，

由正弦定理得，得，

解得；

（2）选择条件①

因为，，

所以.

由正弦定理，得，

所以，

因为，所以，

所以为锐角，

所以，

所以，

选择条件②

由（1）知，，

又因为，，

在中，，

所以

因为

所以，

所以

18．已知向量 ，，设函数 ．

（1）求  的最小正周期，对称中心，对称轴；

（2） 若函数 ，，其中 ，试讨论函数  的

零点个数．

【答案】（1）；对称中心：，；对称轴：，，（2）答案见详解.

【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式：，对称中心，，对称轴，即可求解；

（2）转化为与，在内的交点个数，数形结合即可推出函数零点的个数．

【详解】解：（1）函数，，

．

 的最小正周期：，

由，，解得

对称中心：，

由，，

解得，，

所以对称轴为，，

（2），，所以，

，

函数，，其中，

令，

在同一坐标系中，作出与，如图，

当或时，零点为0个；

当时函数有两个零点，

当或时，函数有一个零点.

19．已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称.

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若，求函数在区间内的极值.

【答案】(1)，；的单调增区间为，的单调减区间为；

(2)详见解析.

【分析】（1）利用条件可得两个关于的方程，然后利用导数与函数单调性的关系即得；

（2）利用（1）的结论，分情况讨论区间和单调区间的位置关系即得．

【详解】（1）由函数的图象过点，

∴，即，

又，则，

而的图象关于轴对称，所以，

解得，∴，

∴，

于是，

由得或，由，可得，

故的单调增区间为，的单调减区间为；

（2）由（1）得，令得或，

当变化时，的变化情况如下表：

由此可得：当时，函数在区间内有极大值，无极小值；

当时，函数在区间内无极值；

当时，函数在区间内有极小值，无极大值；

当时，函数在区间内无极值；

综上得，当时，有极大值，无极小值；

当时，有极小值，无极大值；

当或时，无极值．

20．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a；

（2）原问题转化为的零点问题，求导，利用导数可得单调性，结合零点存在性即可求解.

【详解】（1），

所以在点处的切线方程为，

所以，即；

（2）因为，

所以，

所以可转化为，

设，

则

当时，，

所以在区间上单调递增．

当时，设，

此时，

所以在时单调递增，

又，，

所以存在使得且时单调递减，

时单调递增．

综上，对于连续函数，在时，单调递减，

在时，单调递增．

又因为，

所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，

当，即时，函数在区间上无零点，

综上可知，当时，函数在上有个零点；

当时，函数在上没有零点．

【点睛】关键点点睛：由题意可转化为在区间上的零点个数问题，求导，利用导数可得函数单调性，在时，单调递减，在时，单调递增，分类讨论的正负即可．

21．已知数集具有性质；对任意的

，与两数中至少有一个属于．

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）证明：，且；

（Ⅲ）证明：当时，成等比数列．

【答案】（Ⅰ）数集不具有性质P；数集具有性质P（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析．

【详解】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题．

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集，∴该数集具有性质P．

（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故．

从而，∴．

∵， ∴，故．

由A具有性质P可知．

又∵，

∴，

从而，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，

∵，∴，∴，

由A具有性质P可知．

由，得，且，∴，

∴，即是首项为1，公比为成等比数列．