2022-2023学年北京市丰台区第十二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市丰台区第十二中学高二上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市丰台区第十二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题
1．若空间向量，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以．
故选：A
2．某年级要从2班到12班中选1个班参加一项科普活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，则哪个班级被选到的概率最大（    ）
A．6班 B．7班 C．8班 D．9班
【答案】B
【分析】根据题意利用列表法列出所有情况，然后分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12和概率，从而可得答案
【详解】题意将两枚骰子的点数之和列出下表：
由表得，7班被选到的概率最大为，6班与8班被选到的概率都为，
5班与9班被选到的概率都为，4班与10班被选到的概率都为，
3班与11班被选到的概率都为，2班与12班被选到的概率都为.

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12

故选：B
3．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本）
5
6
7
8
9
10
频数（单位：人）
5
8
13
11
9
4

则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（    ）A．8 B．8.5 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义，结合统计表求四分位数.
【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，
又，
故四分位数（第75百分位数）是9.
故选：C
4．的数值越小，表明空气质量越好，当的数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日的数值的统计数据，图中点A表示3月1日的的数值为201，则下列叙述不正确的是（    ）

A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是3月9日
C．从3月9日到12日，空气质量越来越好 D．从3月4日到9日，空气质量越来越好
【答案】C
【分析】结合已知条件和图像，逐项求解即可.
【详解】由图像可知，的数值小于100的天数共有6天，故A正确；
由图像可知，的数值最小是67，对应的日期为3月9日，故B正确；
由图像可知，从3月9日到12日的数值越来越大，则空气质量越来越差，故C错误；
由图像可知，从3月4日到9日的数值越来越小，则空气质量越来越好，故D正确.
故选：C.
5．棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合已知条件可知平面，进而将问题转化为到面的距离，然后利用线面垂直的性质和判定证明平面，最后利用正方体的棱长即可求解.
【详解】由题意，连接，交于，如下图：

由正方体性质易知，平面，
故E到面的距离为到面的距离，
由正方体性质可知，平面，平面，
故，
由正方形性质可知，，
因为平面，平面，，
所以平面，
因为，
所以到面的距离为，
从而E到面的距离为.
故选：A.
6．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．
【详解】解：设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴


，
故选：B.
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
7．下列四个说法：
①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底．
②空间的任意两个向量都是共面向量．
③若两条不同直线的方向向量分别是，则∥∥．
④若两个不同平面的法向量分别是且，则∥．
其中正确的说法的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】试题分析：：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，正确．
②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．
③若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则∥∥，正确．
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，∵，则∥．
其中正确的说法的个数是4
【解析】空间向量的概念
8．在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是（    ）
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．
【答案】D
【分析】结合已知条件可知，事件不一定是互斥事件，然后逐项求解即可.
【详解】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，
故，从而AB错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
9．一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出第二个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（    ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】结合已知条件，分类讨论第一个球的颜色，按照独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】若取出的第一个球为红色，
则第二个球也是红色的概率；
若取出的第一个球为绿色，
则第二个球是红色的概率.
所以取出第二个球是红色的概率，
解得，.
故选：C.
10．在长方体中，下列计算结果一定不等于0的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据空间向量数量积定义，将所求问题转化为判断两个向量所在直线一定不垂直，再依次判断选项即可.
【详解】对选项A，连接，如图所示：

因为在长方体中，，
若该长方体为正方体，则，即，故A不符合.
对选项B，连接，如图所示：

若该长方体为正方体，则，，，
所以平面，从而有，即，故B不符合；
对选项C，因为平面，平面，
所以，即，故C不符合；
对选项D，连接，如图所示：

因为为直角三角形，其中，所以，
而，即异面直线与所成的角即为，
所以异面直线与不垂直，即一定不为0，故D符合.
故选：D
11．在空间直角坐标系中，已知，那么该四面体的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，求出平面的法向量，然后利用点到面的距离的向量公式求出到平面的距离，然后再求出的面积，最后利用体积公式求解即可.
【详解】不妨设平面的法向量，
因为，，
所以，
不妨令，则，即，
因为，
所以到平面的距离，
又因为，
所以为等边三角形，
从而的面积为
，
从而，
故四面体的体积为.
故选：B.
12．如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P使得，则边CG长度的最小值为   　　

A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：

设，则,即.
又，
所以
.
显然且.
所以.
因为，所以.
所以当，取得最小值12.
所以的最小值为.
故选D.
点睛：集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线垂直时即可转为向量的数量积为0，利用向量的坐标表示即可.

二、填空题
13．已知两条异面直线对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为___________．
【答案】
【分析】利用直线的方向向量以及向量的夹角公式求解即可.
【详解】由已知，
由于异面直线夹角的取值范围为
所以异面直线的夹角为.
故答案为：
14．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则学号为后20名同学的平均成绩为_____．
【答案】95.
【详解】分析：设学号为号到号同学的平均成绩为，得到关于的方程，解出即可.
详解：设学号为号到号同学的平均成绩为，
因为平均成绩是，其中学号为前名的同学平均成绩为，
所以，
解得，故答案为.
点睛：本题主要考查平均数问题，意在考查样本数据的算术平均数公式，属于简单题.
15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，下列说法中不一定符合该标志的是___________（把你认为正确的答案题号填在横线上）
①甲地：总体均值为3，中位数为4；     
②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；
③丙地：中位数为2，众数为3；     
④丁地：总体均值为2，总体方差为3．
【答案】①②③
【分析】根据均值、中位数、众数、方差的概念，依次对各地数据进行分析即可.
【详解】对于①，若甲地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，0，4，4，4，4，4，10，
则总体均值为3，中位数为4，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故①满足题意；
对于②，若乙地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，
则总体均值为1，总体方差大于0，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故②满足题意；
对于③，若丙地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，1，1，3，3，3，3，10，
则中位数为2，众数为3，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故③满足题意；
对于④，总体方差
若丁地某一天新增疑似病例超过7人，即不少于8人，则总体方差
，
∴丁地每天新增疑似病例不超过7人，符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故④不满足题意.
故答案为：①②③.

三、双空题
16．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是___________，三人中至少有一人达标的概率是_________．
【答案】     0.24     0.76
【详解】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76

17．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

轿车
轿车
轿车
舒适型
100
150

标准型
300
450
600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则___________；若用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为___________．
【答案】          ##0.75
【分析】由分层抽样按比例可得；求出，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数， 记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，确定事件所含的个数后可得概率．
【详解】由题意，解得；
由题意，
把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，
记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，
满足的有共6个，
∴所求概率为．
故答案为：；.
18．已知空间向量
（1）若，且，则___________；
（2）若共面，在以下三个条件中①，②，③选取一个作为已知，则的值可以为___________．
【答案】          或或(只需写出一个)
【分析】(1)结合已知条件，利用垂直的空间向量的数量积为0和数量积的坐标运算即可求解；(2)利用空间向量的基本定理即可求解.
【详解】(1)当时，，
因为，
所以，
因为，
所以，解得；
(2)因为共面，
所以由空间向量的基本定理可知，，
选①，则，
故，解得；
选②，则，
故，解得；
选③，则，
故，解得；
综上所述，的值可以为或或.
故答案为：；或或.

四、解答题
19．在平行六面体中，四边形为正方形，且，，．

(1)求的值；
(2)求线段的长．
【答案】(1)12
(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用空间向量的数量积公式求解即可；(2)首项表示出，然后利用空间向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，，，，
故.
（2）由题意可知， ，
故，
因为，，，
所以，
即.
从而线段的长为.
20．从某工厂生产的一批零件中随机抽取n件作为样本，并以样本的长度（单位：mm）分组，统计得到了样本频率分布直方图和频数分布表（如图）．

零件长度
频数

5

13



24

11

9

(1)求n，a，b的值；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这n个零件长度的平均值；
(3)记这n个零件长度方差为，从这批零件中再抽取1件，其长度为，新抽取的这1个零件与原来抽取的n件构成新样本，记这个零件长度方差为，试写出与的大小关系．（直接写出结果，不必说明理由；注：用（2）中的平均值代替这n件样本的实际平均值．）
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据频率之和等于1可求得的值，再根据第一组的频数与频率可以求得的值，最后根据样本容量求得的值.
（2）用每组数据的中间值乘以频率在相加可求得平均值.
（3）根据数据的波动性确定方差大小.
【详解】（1）由表中数据可知，，解得.
又由，则.所以.
（2）.
所以n个零件长度的平均值为111.
（3）由频率分布直方图可知

，在增加一个数后的数据波动性变大，故
由两组数据的波动性可知：
21．2022年卡塔尔世界杯足球赛将于11月20日开幕．本届世界杯有32支球队参加，分别来自亚洲、欧洲、美洲、非洲和大洋洲其中有7支球队曾获得过世界杯冠军．第一阶段的比赛是32支球队分成8个小组进行单循环赛，每个小组有一支种子队，相关信息见下表．表中的8支种子队，从上到下依次用a，b，c，d，e，f，g，h表示．
种子队
获得过世界杯冠军的球队
欧洲球队
美洲球队
非洲球队
亚洲球队
大洋洲队
阿根廷
阿根廷
比利时
葡萄牙
阿根廷
加纳
韩国
澳大利亚
巴西
巴西
波兰
瑞士
巴西
喀麦隆
卡塔尔

比利时
德国
丹麦
塞尔维亚
厄瓜多尔
摩纳哥
日本

法国
法国
德国
威尔士
哥斯达黎加
塞内加尔
沙特

卡塔尔
乌拉圭
法国
西班牙
加拿大
突尼斯
伊朗

葡萄牙
西班牙
荷兰
英格兰
美国



西班牙
英格兰
克罗地亚

墨西哥



英格兰



乌拉圭




(1)从32支参赛的球队中任取一支，求这支球队是种子队或美洲球队的概率；
(2)从获得过冠军的种子队中任选出2支球队，求至少有一支是美洲球队的概率；
(3)从8支种子队中随机抽取一支球队，得到样本空间为，已知事件，试构造适当的事件M，N，使，但事件L，M，N两两不独立．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析

【分析】(1)列出32支队伍中的种子队或美洲球队，即可算出概率.
(2)找出冠军队中的种子队，在找出美洲球队，至少一支是美洲球队,即有一支或2支，列式子求概率.
(3)用相互独立事件的概率计算即可.
【详解】（1）设这支球队是种子队或美洲球队为事件A，在32支球队中，来自于种子队，或者美洲球队的有14支，则.
（2）设至少有一支是美洲球队为事件B，获得冠军的种子队有巴西，法国，阿根廷，西班牙，英格兰，其中是美洲球队的有：巴西，阿根廷，所以至少有一支是美洲球队的概率.
（3）若种子队中抽取的一支队伍是巴西队，在所有预备队员中抽取8名队员，其中表示四名参赛队员被选中参加比赛，表示3名替补队员被选中参加比赛为事件，表示一名守门员被选中参加比赛，这三组队员被选中参加比赛的概率分别为，求这三组队员同时被选中参加比赛的概率.
=.
22．已知：四棱锥的底面是直角梯形，平面，，，，，点E在棱上，．

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若F是棱上的点，满足与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3).

【分析】(1)利用线段比例关系以及线面平行的判定定理即可证明；(2)结合已知条件首先证明平面，然后利用线面垂直性质即可证明；(3)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式即可得到答案.
【详解】（1）连接交于，连接，如下图所示：

因为，，
所以，则，
给，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，，
从而，，
因为，
所以，，
从而，故，
即，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（3）以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

由已知条件可知，，，，，，
不妨设，则，
从而，则，
不妨设平面的法向量为，与平面所成角为，
因为，，
所以，
令，则，，则，
从而，
解得，
从而的值为.
23．给定一个不小于2的整数n，设集合，且集合A满足如下两个条件：
①；
②A中大于1的任意元素均为集合A中的另两个元素（可以相同）的和．
记为集合A中元素个数的最小值．
(1)分别写出）的值（不需要说明理由）；
(2)求证：，；
(3)求证：．
【答案】(1)；.
(2)见解析
(3)见解析

【分析】(1)结合集合新定义，并通过列举法即可求解；(2)通过增加集合中元素个数，并使其满足集合的新定义即可证明；(3)反复利用不等式，即可证明.
【详解】（1）不妨设中元素个数为，
当时，则，，
若时，则，显然不满足条件②；
若时，不妨设，由条件②可知，满足条件①②，
故；
当时，则，，
若时，则，显然不满足条件②；
若时，不妨设，易知此时不满足条件②，
故；
又由于，，，，，，，
，，均不满足条件②，而满足①②，
故.
（2）若，且满足条件①②，中元素个数为，
令，由于，故，
因为，，
所以，且满足①②，
从而；
若，且满足条件①②，中元素个数为，
令，
因为，
所以，且，
因为，，，
从而满足条件①②，故.
（3）结合(1)中结论，反复利用(2)中结论可得，



.