2022-2023学年安徽省宣城六校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

 2022-2023学年安徽省宣城六校高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知命题p：，，则命题p的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.

【详解】因为全称命题的否定为特称命题，

所以命题“，”的否定是，.

故选：B.

2．已知集合，则以下关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.

【详解】因为，所以，

所以，A错误；，B错误；，C错误；D正确.

故选:D.

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义域得到，解得答案.

【详解】函数的定义域满足：，解得.

故选：C

4．已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）

A．3 B．9 C．27 D．

【答案】C

【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值．

【详解】幂函数的图象过点，

可得，解得，

幂函数的解析式为：，

可得（3）．

故选：．

5．对于任意实数 ，以下四个命题中的真命题是（    ）

A．若，，则 B．若 ，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】采用举反例的方法，可判断,利用不等式性质可判断D.

【详解】若，当,则,A错误；

若 ，，取，满足条件，但，B错误；

若，取 ，则，C错误；

若，则必有 ，故，则，D正确，

故选：D

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（    ）

A．80元 B．60元 C．50元 D．40元

【答案】D

【分析】依题意可得利润函数，进而可得结果.

【详解】由题意可知，利润，

令，则．当且仅当即（元） 时利润最大．

故选：D.

8．若正数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】C

【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】因为正数满足，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

故选：C

9．已知：是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，解出的值，即得答案.

【详解】解：因为：是集合到集合的函数，集合，

令，

解得或,

所以.

故选：C.

二、多选题

10．下列式子中，可以是的必要条件的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】转化条件为，再由必要条件的定义即可得解.

【详解】由题意，等价于，

对于A，可推出，故A符合题意；

对于B，不能推出，故B不符合题意；

对于C，不能推出，故C不符合题意；

对于D，可推出，故D符合题意.

故选：AD.

11．若不等式的解集为R，则实数a的取值可以是（    ）

A．-10 B．-8 C．0 D．2

【答案】ABC

【分析】分类讨论，当时，符合题意；当时，根据抛物线的开口方向和判别式列式可得结果

【详解】解：不等式的解集为，

当时，不等式为，恒成立，所以符合题意；

当时，的解集为R，

则抛物线的开口只能向下，且，即，

解得，

综上，的取值范围，

故选：ABC

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．函数是偶函数 D．有2个实数根

【答案】ABC

【解析】根据狄利克雷函数的定义，一一判断即可；

【详解】解：

对于A：当为有理数时，；当为无理数时，

，故A正确；

对于B：当为有理数时，；当为无理数时，

当为有理数时，；当为无理数时，

即不管是有理数还是无理数，均有，故B正确；

对于C：有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

对任意，都有，故C正确；

对于D：当为有理数时，；因为，所以，解得

符合题意，当为无理数时，，因为，所以，解得，矛盾，故只有一个实数根，故D错误；

故选：ABC

三、填空题

13．若，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a=___________.

【答案】3

【分析】根据集合相等的概念得到方程组，解之即可求出结果.

【详解】∵，

∴，解得，

或，无解

所以.

故答案为：3.

14．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____.

【答案】25

【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.

【详解】设两条直角边的边长分别为，则，

故即，当且仅当时等号成立，

故直角三角形面积的最大值为，

故答案为：

15．已知函数，则______.

【答案】##1010.75

【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.

【详解】因为，，

所以

.

故答案为：

四、解答题

16．已知命题p：，，q：，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】．

【分析】利用全称量词命题为真命题求出a的范围，再利用存在量词命题为真命题求出a的范围，即可求解作答.

【详解】，恒有，由，，得，

因p的否定是假命题，则p是真命题，因此，

q是真命题，则方程2x2+5x+a=0有实数根，即，解得，依题意得，

所以a的取值范围是.

17．设集合，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）用列举法表示集合A，再利用并集、交集的定义求解作答.

（2）利用交集、补集、并集的定义直接求解作答.

【详解】（1）依题意，，

因，，则,

所以.

（2）由，得：，而，

因此，

所以.

18．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

【答案】(1)，

(2)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意；

（2）设，由可证得在上单调递增.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得：；

，；

经检验：当，时，，则，为奇函数；

，.

（2）在上单调递增，证明如下：

设，

；

，，，，，

是在上单调递增.

19．已知函数为幂函数，且在区间上单调递减.

（1）求实数的值；

（2）请画出函数的草图.

【答案】（1）（2）图见解析

【分析】(1)将系数化为1，求出的值，再根据单调性排除，即可得到；

(2)求出函数的定义域以及奇偶性，再结合单调性，即可画出函数的草图.

【详解】解：（1）由，得或，

①当时，，此时函数在区间为增函数，不符合题意；

②当时，，此时函数在区间为减函数，符合题意.

故实数的值为.

（2）由（1）知，由函数的定义域为

由可知函数为偶函数，可画出函数草图为：

【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式及单调性、奇偶性，属于基础题.

20．迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；

【答案】当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为

【解析】设矩形栏目的高为，由题意结合基本不等式即可得解.

【详解】设矩形栏目的高为，宽为cm，则，

所以，广告的高为cm，宽为cm，(其中)，

则整个矩形广告的面积：

，

当且仅当，即时，取等号，此时.

故当矩形栏目的高为cm，宽为cm时，可使广告的面积最小为.

21．1.已知集合，集合．

(1)求常数m、n的值；

(2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B，注意对a进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围

【详解】（1）因为，所以-1和3是方程的两个根，由韦达定理得：，，解得：，

（2），解得：当时，集合，当时，集合，当时，解集为

因为p是q的充分不必要条件，，

当时，，此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去

当时，需要满足，此时，解得：

当时，需要满足，此时，解得：

综上：实数a的取值范围为

22．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设，根据，求得，再由，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）将已知转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；

（3）求出的函数关系式，根据对称轴与定义区间位置关系，分类讨论函数取最大值的情况.

【详解】（1）设函数，

因为，可得，所以，

又，得，即，

对于任意的成立，则有解得

∴.

（2）当时，恒成立，即恒成立；

令，

∵开口方向向上，对称轴为，

∴在内单调递减，∴，∴，

即实数的取值范围是.

（3），，对称轴为，

①当，即时，，

②当时，即，，

综上所述，