2022-2023学年北京市丰台区高二上学期期中练习数学试题（A卷）（解析版）

2022-2023学年北京市丰台区高二上学期期中练习数学试题（A卷）

一、单选题

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案.

【详解】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，

从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，

故可能为，

故选：B.

2．已知空间向量，，若，则，的值分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】利用，得到，即可计算求解.

【详解】由，得，故，解得

故选：D

3．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果.

【详解】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件和同时发生，即事件发生.

故选：C.

4．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用点关于x轴对称的点的坐标是即可得出.

【详解】关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，点关于轴对称的点为.

故选：A．

5．在长方体中，，，，点为中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.

【详解】连结，如图，

因为，，

所以.

故选：A.

.

6．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（    ）

A．图中m的数值为26

B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人

C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数

D．样本数据的第90百分位数为5

【答案】C

【分析】由频率和为1求，根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数判断各选项．

【详解】由题意，，A错；

不低于3场的人数约为，B错；

由已知得中位数是3，

平均数是，C正确；

由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错．

故选：C．

7．已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，对选项逐一求出，再判断是否为即可.

【详解】因为，

对于A，，故，即，故选项A中的点在平面内，故A正确；

对于B，，故，即不互相垂直，故选项B中的点不在平面内，故B错误；

对于C，，故，即不互相垂直，故选项C中的点不在平面内，故C错误；

对于D，，故，即不互相垂直，故选项D中的点不在平面内，故D错误.

故选：A.

8．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事件“为奇数”，事件“为偶数”，事件“为3的倍数”，事件“”，其中是相互独立事件的是（    ）

A．事件与事件 B．事件与事件

C．事件与事件 D．事件与事件

【答案】B

【分析】分别写出，，， 包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判断.

【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,

,

由古典概型概率公式可得：

,

所以，，,，

故ACD错误，B正确．

故选：B

9．李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出.已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可判断.

【详解】由于本次投资中没有亏损，所以需要计算判断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，

对于A，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故A错误；

对于B，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故B错误；

对于C，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于没有亏损，故C正确；

对于D，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故D错误.

故选：C.

10．在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（    ）

A．2 B．1或3

C．2或4 D．或

【答案】B

【分析】由点到平面的距离是确定的且平面只有一个，可得，且两点在平面同侧，由此可得线段的长，从而求得值，

【详解】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，，

，或3．

若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个．

若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意．

故选：B．

二、填空题

11．某校学生共2000人，采用分层随机抽样抽取一个样本量为50的样本，若样本中男生人数为20，则可估计此学校女生人数为______．

【答案】

【分析】利用分层抽样比例相等得到关于女生人数的方程，解之即可.

【详解】设此学校女生人数为，则样本中女生的人数为，

由分层抽样比例相等得，解得，

故估计此学校女生人数为.

故答案为：.

12．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，若取出的产品全是正品的概率为0.85，则取出至少有1件次品的概率为______．

【答案】0.2775##

【分析】可用间接法，即用对立事件来求概率.

【详解】由已知得，取出2件产品中，1件次品也没有的概率为.

所以，取出至少有1件次品的概率为1-0.7225=0.2775.

故答案为：0.2775.

13．在长方体中，若，，则直线与所成角的余弦值为______.

【答案】##

【分析】因为，所以直线与所成的角，即直线与所成的角，在中用余弦定理解三角形，得即为所求.

【详解】

在长方体中，，

所以直线与所成的角，即直线与所成的角，

又因为，，所以，，

在中，由余弦定理， ，

所以直线与所成的角的余弦为.

故答案为：.

14．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量的模是______．

【答案】

【分析】先求出投影向量，再求向量的模.

【详解】当以坐标原点为始点时，其终点在坐标平面上的投影坐标为，所以向量在坐标平面上的投影向量，.

故答案为：

15．如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点，为线段上的动点．给出下列三个结论：

①三棱锥体积为定值；

②存在唯一点使；

③点到直线的距离是.

其中所有正确结论的序号是______．

【答案】①③.

【分析】根据线面平行的判定，线面垂直的判定，结合已知条件，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对①：因为//面，故可得//面，

又点在上运动，故点到平面的距离为定值，又△的面积为定值，

故的体积为定值，①正确；

对②：若点重合，因为面面，则，即；

若点不与重合，过点作的垂线，记垂足为，如下所示：

因为面面，故可得，又，

面，故面，又面，

故；

综上所述：使的点不唯一，故错误；

对③：在△中，，，

又，，

则，则点到的距离为，故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，线面垂直的判定和性质，处理问题的关键是熟练的应用判定定理和性质定理，属综合中档题.

三、解答题

16．已知空间向量，，．

(1)若，求；

(2)求；

(3)若向量与向量，共面，求实数的值.

【答案】(1)４

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量垂直的性质直接求解；

（2）根据向量的模长公式计算求解；

（3）根据向量共面的应用直接求解即可．

【详解】（1）解：，

，

即，

，

解得．

（2）解：，

．

（3）解：∵ 向量与向量，共面，

∴ 设，

，

解得，

．

17．从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.

(1)请写出该试验的样本空间;

(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;

(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;

(2) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;

(3) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.

【详解】（1）解:由题知,样本空间为;

（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,

故;

（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,

故.

18．如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，将问题转化为点到平面的距离，再利用等体积法即可求得所求.

【详解】（1）连结交于，连接，

因为在直三棱柱中，侧面是平行四边形，

所以是的中点，又因为为的中点，

所以，又因为平面，平面，

故平面；

（2）由（1）知平面，

所以直线与平面的距离等价于点到平面的距离，不妨设为，

因为，，所以，，则，

又因为为的中点，所以，

因为在直三棱柱中，面，故，

所以在中，，，

在中，，

所以在中，，则，

故，

所以由得，即，解得，

所以直线与平面的距离为.

19．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；

(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；

(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；

（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；

（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.

【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得

成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；

成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；

所以，解得，

所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.

（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，

则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，

其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，

故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.

（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，

所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，

故，解得，

所以成绩良好的最低分数线为.

20．某网络平台在2016~2021年销售某种产品的相关数据如下表所示：

注：年退货率年退货件数/年销售件数.

(1)从2016~2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率；

(2)网络平台规定：若年退货率不超过千分之一，则该网络平台销售部门当年考核优秀.现有甲、乙两位平台管理人员各从2016~2020年中随机抽取1年进行考查，若甲、乙的选择互不影响，求恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率；

(3)记该网络平台在2016~2018年，2019~2021年的年销售件数的方差分别为，. 若，请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)

(3)的最大值为11，的最小值为9.

【分析】（1）分别计算出2016，2017，2018，2019，2020年退货率，即可得出；

（2）甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，根据独立事件乘法公式计算；

（3）分别计算出，.列出不等式，即可解出的取值范围.

【详解】（1）分别记表示“2016，2017，2018，2019，2020年退货率” .由已知得：

，，，

，.

所以从2016~2020年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率为.

（2）由已知，甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，只有甲选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率为，只有乙选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率为，所以恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率.

（3）该网络平台在2016~2018年的年销售件数的平均值，方差为；

该网络平台在2019~2021年的年销售件数的平均值，方差为；

由已知，即.

所以，.

所以的最大值为11，的最小值为9.

21．如图，在四棱锥中，平面平面

，，，且，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)在线段上，是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量法即可求解，

（2）根据共线以及平面法向量垂直即可求解.

【详解】（1）取的中点为,由于为等边三角形，所以,

由于平面平面，且交线为,平面,

所以平面,平面,所以，  

故建立如图所示的空间直角坐标系；

，

,

设平面的法向量为，

，取，则，

设直线与平面所成角为，则，

（2）

设 ，

所以, ,

设平面的法向量为，

，取，则，

由平面平面得 ，故 ，

当 时， 不垂直，故不满足平面平面，

综上，故