2022-2023学年北京市十一学校高二上学期第一学段数学Ⅰ课程教与学诊断试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市十一学校高二上学期第一学段数学Ⅰ课程教与学诊断试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式求出即可
【详解】由题意得，得，
所以抛物线的焦点到准线的距离是4.
故选：D.
2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
3．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（ ）
A．1B．C．1或D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得，
解得.
故选：A.
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】由抛物线的性质可求得，从而可得焦点坐标.
【详解】抛物线的准线方程为：，
由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，得，抛物线方程为，
则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.
故选：C
5．已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件可得,又因为，计算得到.
【详解】因为双曲线的一条渐近线为,所以,
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
6．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合向量可得a，b，c之间的关系，进而求出离心率．
【详解】由题意可知：椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，则有，
∵，则，即，
则，解得或（舍去），
故选：C.
7．若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】当时， ，故方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件，
方程表示双曲线时，需满足 ，即 或 ，
故“”不是“方程表示双曲线”的必要条件，
故选：A.
8．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直线过原点，且与双曲线的两支各有一个交点，则直线在两条渐近线之间，数形结合即可得到答案.
【详解】由双曲线，得渐近线方程为，
由题意得，直线应该在两条渐近线之间，如图得，.
故选：D.
9．已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求的横坐标之和，然后得中点的横坐标
【详解】设，，，由抛物线定义得：，
故中点的横坐标为
故选：B
10．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
11．设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】设点，根据坐标得到，再结合椭圆的对称性即可得到的范围.
【详解】设点，根据椭圆方程得，，，则，，，
显然，方程最多有两个解，根据椭圆的对称性可知，要想有四个点，需要方程有两个解，且在范围里，所以.
故选：A.
12．已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
【详解】设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a－m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
∴，
可得，
即有，
即，
可得
则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，
当且仅当，即，取得最小值3．
故选：B．
二、填空题
13．已知双曲线过点，则其渐近线方程为______．
【答案】
【分析】由双曲线经过可求得，从而即得渐近线方程.
【详解】因为双曲线过点，
即有，解得或（舍），而，
故渐近线方程，即.
故答案为：
14．已知椭圆C：的两个焦点为、，P为椭圆C上一点，则的周长为________
【答案】16
【分析】由椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆的定义有,
故的周长为.
故答案为：16.
【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点三角形的周长问题,属于基础题型.
15．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上一个动点，点，则的最小值为______．
【答案】##4.5
【分析】结合抛物线第一定义，由两点间直线距离最短即可求解.
【详解】如图所示，设抛物线准线交于点，由抛物线第一定义可知，，要使最小，即最小，当三点共线时，取到最小值，,
故答案为：
16．设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并做AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】由题意作等价转换，结合抛物线第一定义可直接写出方程.
【详解】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.
故答案为：
17．设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.
【答案】7
【分析】根据题意可得，利用勾股定理和椭圆定义可求得，即可求出面积.
【详解】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，由①②，解得，
.
故答案为：7.
18．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是_________．
①曲线C关于坐标原点对称； ②y的取值范围是；
③曲线C是一个椭圆； ④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．
【答案】①②④
【分析】①在曲线C上任取一个点，找到它关于原点对称的点，判断是否也在曲线C上即可.
②把用表示，借助的范围即可得y的取值范围.
③分析曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的即可.
④在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线C的图形的位置关系即可判断.
【详解】曲线C的方程为，可变为.
①设点，满足，则点关于原点对称的点为，因为，所以点也在曲线C上，即曲线C关于坐标原点对称.故①正确.
②因为，所以，则y的取值范围是.故②正确.
③时，曲线C的方程可化为，其中，时，曲线C的方程可化为，其中，所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆.故③不正确.
④当时，，设，则，
，当且仅当或时等号成立，所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方.
根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部（四个顶点都在曲线C上），所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积. 故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
19．设抛物线的顶点为，焦点为．过点且斜率为的直线与有两个不同的交点，过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)求证：，三点共线．
【答案】(1)抛物线的方程为，其准线方程为
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，待定系数求得，再求解方程与准线即可；
（2）结合题意，求得，，再证明即可.
【详解】（1）解：因为过点且斜率为的直线与有两个不同的交点，
所以有，解得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）解：因为过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点．
所以，
由于抛物线的方程为，故焦点，
所以直线的方程为，
所以联立方程，整理得：，
所以，即，
所以，，
因为，且有公共点，
所以，三点共线.
20．已知椭圆过定点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)1，
【分析】（1）由题意得出后写标准方程
（2）待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值
【详解】（1）依题意可得
所以可解得，，
所以椭圆的标准方程为
（2）设直线的方程为，
联立方程组，消去得，化简得
所以，即
所以==
又原点到直线的距离
所以=
当且仅当即时取等号
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为
21．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆的方程；
（2）设出点的坐标，求得直线的直线方程，以及点的坐标；再求得直线和的交点，以及点的坐标，利用弦长公式，即可求证.
【详解】（1）根据题意可得：，，解得，
故椭圆的方程为：.
（2）设点的坐标为，则，即；
又点坐标为，故可设直线方程为：，
令，可得：，即点的坐标为，
又点坐标为，故直线的斜率，
又直线的斜率满足，则，
又因为直线的斜率为，故直线方程为：，
联立直线方程，与直线的方程，即，
，即；
则，故为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；其中第二问处理的关键是根据点的坐标，结合几何关系，求得点的坐标，属综合中档题.
22．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，证明见解析.
【分析】（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得；
（2）先设直线方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点
【详解】（1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为:.
联立方程组，消元得:，
∴.
∴
解得：.
∴抛物线的方程为：.
（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，
联立，得，
则①.
设，则.
∵



即，得：，
∴，即或，
代人①式检验均满足，
∴直线的方程为：或.
∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.