2022-2023学年福建省晋江市季延中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省晋江市季延中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点的对称直接求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是.
故选：B
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】由，
所以直线恒过定点，
因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.
故选：B
3．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.
【详解】解：曲线表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 .
曲线表示焦点在轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为.
对照选项可知：焦距相等.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆方程和性质，考查运算能力，属于基础题.
4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
故在基底下的坐标为．
故选：A.
5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
6．椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】转化周长为，
结合，即得解.
【详解】
由题意，椭圆，其中，，
由于点B为椭圆的上顶点，故，
周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为12.
故选：C
7．已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故选：C
8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是．
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.
【详解】当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：，
曲线的图像如下图所示：
由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，
因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，
所以圆心到的距离，
从而，即，故③正确，
故选：C.
二、多选题
9．若两条直线和的交点在第四象限，则k的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据直线过定点，作图分析可得.
【详解】记直线与x轴的交点为，斜率为，
直线所过定点为，
则
由图可知，当，即时，两直线交点在第四象限.
故选：BC
10．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．
是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【答案】CD
【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.
【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；
若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
故选：CD
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
12．已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，连接，，则（ ）
A．当四边形为正方形时，点P的坐标为B．的取值范围为
C．当为等边三角形时，点P的坐标为D．直线过定点
【答案】CD
【分析】根据给定条件，用表示出切线长判断选项A，B，D；求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】依题意，，则，
当点时，，因此，显然四边形不是正方形，A不正确；
因当点时，，B不正确；
当点时，，在中，，即有，又，
因此为等边三角形，此时直线斜率为1，有，由垂足的唯一性知，
当为等边三角形时，点P的坐标为，C正确；
设，显然点A，B在以OP为直径的圆上，又点A，B在圆上，
于是得直线AB的方程为：，即，直线过定点，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．若直线与直线平行，则___________.
【答案】
【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解.
【详解】根据两直线平行可得：解之得：.
故答案为：
14．直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为_________________________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出动圆圆心的轨迹方程，再由直线l与圆心的轨迹平行求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，显然点C的轨迹是直线，
直线，由解得，即直线l过定点，
因直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，因此直线l平行于圆心C的轨迹，
设直线l的方程为：，有，解得，
此时直线l与圆心C的轨迹的距离为，即直线l与圆C相交，
所以直线l的方程为.
故答案为：
15．已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】设，，,利用向量的坐标运算求出，进而求出，借助向量模的运算及，整理可得，进而得解.
【详解】由题意可设，，,
由，得，
，
，
所以
（当且仅当，时等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
四、双空题
16．若为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，向量，，，且，则点的轨迹方程为______，该轨迹的离心率为______.
【答案】 ##0.5
【分析】根据向量的表达式结合可得点到两点的距离之和为8，即可判断出的轨迹，继而求得方程，以及离心率.
【详解】由题意可知向量，，，
且，故，
即点到两点的距离之和为8，且，
故的轨迹是以为焦点的椭圆，且 ，
则点的轨迹方程为，离心率为 ，
故答案为：；
五、解答题
17．求满足下列条件的直线的一般式方程：
(1)经过直线的交点，且经过点；
(2)与直线垂直，且点到直线的距离为.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）联立直线方程，求交点，根据两点式，可得答案；
（2）根据垂直设出直线方程，由点到直线距离，可得答案.
【详解】（1）由，得，点的坐标为
所求直线又经过点，得直线的两点式：，
所求直线的一般式：.
（2）所求直线与垂直，可设直线的方程为.
又直线到点的距离为，，解得或，
所求的直线方程为或.
18．如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点．
(1)用向量、、表示和；
(2)求、；
(3)求．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用基底表示向量，再结合空间向量的线性运算可将和用基底表示；
（2）利用空间向量数量积的运算性质可求得、的值；
（3）利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）解：连接，
因为为的中点，则，
，
故，
.
（2）解：由空间向量数量积的定义可得，
，
.
（3）解：
.
19．已知椭圆（a＞b＞0）的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于，两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列等式可解得；
（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，根据韦达定理以及可解得，得到直线方程
【详解】（1）由已知可得，解得，，
椭圆的方程为．
（2）显然斜率不存在时不满足条件，
当斜率存在时，，设直线l的方程为，
代入的方程得，
，，
，解得，
∴直线l的方程为：或
20．在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点是圆上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点.
(1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围；
(2)证明：点到直线的距离为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，故列不等式求解的取值范围；
（2）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明.
【详解】（1）解：因为，所以圆的半径，
又圆与圆恒有公共点，
且圆心之间的距离为，
所以
对任意恒成立，
所以，解得；
（2）解：设，圆的半径
则圆方程为，
整理得，又圆，
两圆方程相减，整理得相交直线的方程为，
所以到直线的距离，
因为在圆上，所以，所以到直线的距离.
即点到直线的距离为定值.
21．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.
【详解】（1）在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.
即,又为两相交直线，则平面
取PD中点F，连接EF，又，则，则平面
又四边形中，，
则，则三直线两两互相垂直
以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，， ，，
，，,
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，令，则，则
设，则
由直线平面，可得，即
则，解之得，则，又，则
（2）由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，
又，为平面PBE的一个法向量
则，即，解之得，
则，，
设平面的一个法向量为，又
则，即，令，则，则
设平面与平面夹角为
则
又，则
22．已知椭圆的中心为，离心率为.圆在的内部，半径为.，分别为和圆上的动点，且，两点的最小距离为.
(1)建立适当的坐标系，求的方程；
(2)，是上不同的两点，且直线与以为直径的圆的一个交点在圆上.求证：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）以为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，根据离心率为和求解；
（2）解法一：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.（i）当直线垂直于轴时，由 判断；（ii）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由 与圆相切，得到m，k的关系，与椭圆方程联立， 计算即可；解法二：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.设直线与圆相切于点. （i）当时，直线垂直于轴，易得；（ii）当时，直线的方程为，结合，得到直线的方程为，与椭圆方程联立，论证即可；解法三：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.（i）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，设是以为直径的圆上的任意一点，由，得到圆的方程判断；（ii）当直线垂直于轴时，易得.解法四：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.（i）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，与椭圆方程联立， 结合韦达定理，求得以为直径的圆的方程判断；（ii）当直线垂直于轴时，易证.
【详解】（1）解：以为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图.
设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
依题意得，
解得，
所以的方程为.
（2）解法一：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，
所以直线与圆相切.
（i）当直线垂直于轴时，不妨设，，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
（ii）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，.
因为与圆相切，所以到直线的距离，
即.
由得，
所以，
，
，
，
，
所以，故以为直径的圆过点.
综上，以为直径的圆过点.
解法二：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.
设直线与圆相切于点.
（i）当时，直线垂直于轴，不妨设，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
（ii）当时，直线的方程为，
因为，
所以直线的方程为.
设，由，得，
所以，
因为，所以，
，
，
，
，
，
，
，，
.
所以，即，故以为直径的圆过点.
综上，以为直径的圆过点.
解法三：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，
所以直线与圆相切.
（i）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，.
因为与圆相切，所以到直线的距离，即.
由得，
所以，
，
，
.
设是以为直径的圆上的任意一点，由，
得，
化简得，
故圆的方程为，它过定点.
（ii）当直线垂直于轴时，不妨设，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
综上，以为直径的圆过点.
解法四：因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.
（i）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，.
因为与圆相切，所以到直线的距离，即.
由，得，
所以，
，
以为直径的圆的圆心为，即.
半径
，
以为直径的圆的方程为，
整理得，故以为直径的圆过定点.
（ii）当直线垂直于轴时，不妨设，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
综上，以为直径的圆过点.