2022-2023学年福建省厦门第六中学高二上学期期中质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门第六中学高二上学期期中质量检测数学试题

一、单选题

1．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

2．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.

【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.

故选：B

3．两直线与平行，则它们之间的距离为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据直线平行求得，再根据平行线间的距离公式求解即可.

【详解】因为直线与平行，故，解得.

故直线与间的距离为.

故选：C

4．直线l:被圆C：截得的弦长为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】求出圆心到直线l:的距离，根据圆心距和圆的半径以及弦长之间的关系，即可求得答案.

【详解】由题意得圆心到直线l:的距离为，

故直线l:被圆C：截得的弦长为，

故选：B

5．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的坐标的定义即得.

【详解】∵向量在基底下的坐标为，

∴，

设向量在基底下的坐标是，

则，

∴，

解得，即.

故选：D.

6．已知点P为椭圆，上的一个动点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的参数方程为，结合几何关系可得：，由三角函数化简再结合二次函数特征即可求解对应范围

【详解】设椭圆的参数方程为，因为为切线长，设圆心为，则

，，，

故，

故选：B

【点睛】本题考查椭圆上动点与圆的切线长的位置关系，设参数可简化运算，结合几何关系是解题的关键，属于中档题

7．已知圆C：和两点,，若圆C上存在点P使得，则m的取值范围是（    ）

A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49]

【答案】C

【分析】设P的坐标为，由可得P的轨迹为，又因为点P在圆C上，所以两圆有公共点，从而求解即可.

【详解】解：设P的坐标为，因为，,，

所以，化简得，

又因为点P在圆C：上，

所以圆与圆C有公共点，

所以且，

解得，

故选：C．

8．已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.

【详解】设,则,.

由椭圆的定义可知,所以,所以,.

在△ABF1中,.

所以在△AF1F2中,,

即整理可得：,

所以

故选：C

二、多选题

9．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C． D．的面积的最大值是4

【答案】BCD

【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项．

【详解】由椭圆方程得，，所以，

焦点为，A错；离心率为，B正确；，C正确；当短轴端点时，的面积的最大，最大值为，D正确．

故选：BCD．

10．已知空间中三点，，，则（    ）

A． B．

C． D．A，B，C三点共线

【答案】AB

【详解】易得，，，，A正确;

因为，所以，B正确，D错误;

而，C错误.

故选: AB.

11．已知直线，，下列命题中正确的有（    ）

A．当时，与重合 B．若，则

C．过定点 D．一定不与坐标轴平行

【答案】AC

【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D．

【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；

当时，有且，解得，故B错误；

因为，所以直线过定点，故C正确；

当时，直线与x轴平行，故D错误；

故选：AC．

12．已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（    ）

A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2

C．直线AB过定点 D．存在点N使为定值

【答案】ACD

【分析】设，由此据圆的切线性质表示出，则即可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，从而判断A的对错；利用表示出

,由此可判断B的对错；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C对错；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D的对错.

【详解】如图示：

设 ，则，

所以四边形PAMB周长为 ，

当P点位于原点时，t 取值最小2，

故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为，故A正确；

由 可得： ，

则 ，而 ，则 ,故B错误；

设 ，

则 方程为： ，

的方程为，

而在切线，上，故，，

故AB的直线方程为，

当时，，即AB过定点 ，故C正确；

由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D,

则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ,

则为定值，即D正确，

故选：ACD.

三、填空题

13．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案.

【详解】解：因为方程表示一个圆

所以，，即，解得或.

所以，实数的取值范围是

故答案为：

14．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．

【答案】4

【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，

所以，

解得.

故答案为：4.

15．点在轴上运动，点在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________.

【答案】

【分析】设A关于轴的对称点关于的对称点，利用对称将的周长的最小值转化为求的长度，求得的坐标，由两点间距离公式即可求得答案.

【详解】设A关于轴的对称点关于的对称点，

的周长，

取等号时即共线时，的周长的值最小，

即的长度即为三角形周长的最小值，

由题意，

设点 ，

解得，所以，

由两点距离公式知.

故答案为：.

16．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.

【答案】

【分析】设，根据向量线性运算的几何表示可得，然后向量共面的推论即得.

【详解】由题可设，

因为，

所以，

因为M，E，F，G四点共面，

所以，

解得.

故答案为：.

四、解答题

17．直线经过两直线和的交点．

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，再设直线的方程为，代入交点后可求的值，从而可得直线方程；

（2）就斜率是否存在分类讨论后可求直线方程.

【详解】（1）直线方程与方程联立得交点坐标为．

设直线的方程为，代入交点得，所以的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，得的方程为，符合条件．

当的斜率存在时，设直线的方程为即

根据，解得，

所以直线的方程为．

综上所述，的方程为或．

18．已知的三个顶点坐标分别为

（1）求外接圆的方程；

（2）动点D在的外接圆上运动， 点坐标，求中点的轨迹

【答案】(1) ；(2) 以点为圆心，以为半径的圆.

【分析】（1）由已知求得AB的垂直平分线的方程，BC的垂直平分线的方程，联立两直线方程解得圆心坐标，再根据两点的距离公式求得半径，由此可求得外接圆的方程；

（2）设，由中点公式表示出，再代入得中点的轨迹方程，可得中点的轨迹.

【详解】解：（1）因为，所以，AB的中点为，则AB的垂直平分线的方程为；

，BC的中点为，则BC的垂直平分线的方程为，即；

联立，解得，所以圆心坐标为，半径为，

所以外接圆的方程为：；

（2）设，由中点公式得，则，代入得中点的轨迹方程为，即，

所以中点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.

19．在直三棱柱中，，，．

（1）求异面直线与所成角的正切值；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.

（1）利用空间向量法求出与所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；

（2）利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.

【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则点、、、、、.

（1）设异面直线与所成角为，，，

，即，，

则，因此，异面直线与所成角的正切值为；

（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，

，，，

由，得，取，得，

所以，平面的一个法向量为，

，，则.

因此，直线与平面所成角的余弦值为.

【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题.

20．已知椭圆的离心率是，点在椭圆 上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点， 求为坐标原点)面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据离心率和椭圆所过的点列方程组求解；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理法可得面积表达式，然后利用基本不等式求最值．

【详解】（1）由题意可得 ，解得，

故椭圆C的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，

设直线 ，

联立 ，整理得 ，

，

所以， 即 或，

则 ，

故 ，

点到直线的距离，

则的面积，

设，则 ，

故 ， 当且仅当时，等号成立，

即面积的最大值为．

21．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，

(1)证明：平面平面；

(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用平面，证明平面，从而平面平面；

（2）建立平面直角坐标系，设，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离．

【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，

是正三角形，，，又平面，

所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，

则，，，，，，

则设，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，令，，

得

平面的法向量可以为，

，解得，

所以，则

设平面的一个法向量为，

则，即，取，得，

所以点到平面的距离.

22．已知圆的圆心在直线上，且圆与：相切于点.过点作两条斜率之积为-2的直线分别交圆于，与，.

（1）求圆的标准方程；

（2）设线段，的中点分别为，，证明：直线恒过定点.

【答案】（1）（2）证明见解析

【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切可知，利用斜率乘积等于可构造方程求得，由点到直线距离等于半径可求得半径，由此可得圆的标准方程；

（2）设，则，将方程与圆的方程联立，由韦达定理和中点坐标公式可求得，代入直线方程求得；以替换可得，结合两点两线斜率公式求得，从而得到直线的方程；将直线的方程整理后，可确定所过定点.

【详解】（1）设圆心

圆与相切与点    ，即，解得：

    圆的半径

圆的标准方程为：

（2）设，则

联立得：

设，

，

以替换可得：，

直线的方程为，即：

当时，    直线过定点

【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解圆的方程、直线过定点问题的求解；求解直线过定点问题的关键是能够利用某一变量表示出直线的方程，进而将含变量的部分进行整理，通过等式恒成立的思路可确定恒过的定点.