2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式可得q＝＝3，进而可得a1与a2的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，又由a3＝6，a4＝18，则q＝＝3，则a1＝，a2＝，则a1+a2＝2；故选B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出q的值，属于基础题．2．点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（ ）A．  B． C． D．【答案】A【详解】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离.故选A．3．在等比数列中，，，则与的等比中项是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.【详解】由已知所以与的等比中项是，故选：A4．已知数列满足，，，则（    ）A． B． C． D．3【答案】A【解析】根据数列的周期性可求得结果.【详解】将进行变形，得，则由得，，，，所以数列是以4为周期的周期数列，又，所以，故选：A．【点睛】关键点点睛：利用数列的前几项推出数列的周期是解题关键.5．设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26，得到，再由椭圆的离心率为，得到，再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解.【详解】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，所以，又因为椭圆的离心率为，所以，因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，所以，所以曲线的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（     ）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【解析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，，.故选：B.7．已知正项等比数列，满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意先得，变形可得，进而等比数列的性质可得答案．【详解】根据题意，正项等比数列中，若，则有，又，，所以．故选：A．8．已知数列满足，若，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用数列的递推关系式，推出．然后得到，说明的范围．【详解】解：由递推关系可知，，所以.即，可求，所以.因为，∴，解得，故选：B.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查分析问题解决问题的能力．属于中档题．9．已知点在圆的外部，则的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点在圆外的条件，列不等式求k的取值范围.【详解】由题意可得，解得，只有.故选：C. 二、多选题10．已知等差数列、、、，则（    ）A．公差 B．该数列的通项公式为C．数列的前项和为 D．是该数列的第项【答案】ACD【分析】求出等差数列的公差，可求出该数列的通项公式，可判断ABD选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项.【详解】对于A选项，等差数列的公差为，A对；对于B选项，该数列的通项公式为，B错；对于C选项，数列的前项和为，C对；对于D选项，由，解得，D对.故选：ACD.11．已知圆，从点观察点，要使视线不被圆O挡住，则a的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意首先求得的取值范围，然后确定可能的值即可．【详解】解：设过点与圆相切的直线为，则圆心到直线的距离为，解得，切线方程为，由点向圆引2条切线，只要点在切线之外，那么就不会被遮挡，在的直线上，在中，取，得，从点观察点，要使视线不被圆挡住，需或，的取值范围是，则可能的取值为，．故选：AC．12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是A．四边形为平行四边形 B．C．直线的斜率为 D．【答案】ABC【解析】对A,根据椭圆对称性判断即可.对B,根据的最值判定即可.对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.故 A正确.对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.对D, 设则.又由C可知直线的斜率为,故.所以.故.故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题. 三、填空题13．直线，，若，则________．【答案】【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得的值.【详解】因为，则，解得.故答案为：.14．若等比数列的各项均为正数且，则_____.【答案】10【解析】，由此能求出结果．【详解】∵等比数列的各项均为正数，且， .故答案为：1015．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则________．【答案】2【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，则由题意可得，且．，．又由等比数列的性质可得，．故答案为：2．16．若A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点．若直线AB与圆相切，则的最小值为________．【答案】##【分析】设，利用直线AB与圆相切，结合基本不等式，得到，即可求出|AB|的最小值．【详解】设，则直线AB的方程为，整理得．因为直线AB与圆相切，所以，化简得，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，|AB|的最小值是．故答案为： 四、解答题17．已知数列为等比数列，，，．(1)求；(2)若数列满足，，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设公比为，由已知得，又，，求解得值，即可得；（2）因为，，所以用累加法可求.【详解】（1）解：数列为等比数列，设公比为，因为，，所以又，所以，解得：或（舍）所以.（2）解：，所以，又则.18．已知的三个顶点分别为．(1)求边和所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)边所在直线的方程为，边所在直线的方程为．(2)中线所在直线的方程 【分析】（1）由于、两点分别在轴和轴，由直线方程的截距式列式，化简可得所在直线的方程；再由、的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出所在直线的方程；（2）利用线段中点坐标公式，算出的中点坐标为，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出上的中线所在直线的方程．【详解】（1）解：，，直线的截距式方程得：，化简得．，，由直线的两点式方程，得方程为，即，综上所述，边所在直线的方程为，边所在直线的方程为．（2）解：设中点，由线段的中点坐标公式，可得，，中点坐标为．再由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，化简得，即为所求边上的中线所在的直线的方程．19．已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设的公差为d，根据等差中项的性质得到方程，求出，即可得解；（2）由（1）知：，利用裂项相消法计算可得；【详解】解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.即，即又，且，解得所以有.（2）由（1）知：则.即.20．已知等差数列满足，前7项和为（Ⅰ）求的通项公式（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.【答案】(1) (2) .【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）21．已知圆C:，直线l：．（1）求证：对直线l与圆C总有两个不同交点；（2）设l与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）若定点分弦所得向量满足，求此时直线l的方程．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或．【分析】（1）通过证明直线l恒过的定点在圆内即可；（2）设M（x,y）.当M不与P重合时，连接CM、CP，则CMMP，用勾股定理整理可得答案；（3）设A（），B（）由可得.将直线与圆的方程联立.由韦达定理与联立得，从而得直线的方程.【详解】（1）直线l：，即，可得直线l恒过定点，且即定点在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点.（2）当M不与P重合时，连接CM、CP，则CMMP，C（0,1），，设M（x,y）, ,则化简得：当M与P重合时，满足上式.故弦AB的中点M的轨迹方程为.（3）设A（），B（）由得.将直线与圆的方程联立得： （*），可得，代入得，直线方程为或.22．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右两个焦点分别为、，P在椭圆C上运动．(1)若的最大值为120°，求a、b的关系式；(2)若点P是椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若直线，的交点Q在椭圆C上，求点P的坐标（用a，b表示）．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆定义可知，结合基本不等式以及余弦定理，可求得，即；（2）设点，利用点斜式表示出与的方程，联立即可求得点的坐标，再根据点与点的位置关系，即可求得点的坐标.【详解】（1）根据椭圆定义可知：，，因为，当且仅当时取等号，此时，所以，解得，即（）（2）设，如图所示：当时，不存在，则与重合，不满足题意；当时，则直线的斜率，直线的斜率，直线的方程：①直线的斜率，直线的斜率，直线的方程：，②联立①②，解得：，则，由在椭圆上，且，所以四点共圆，故的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即，，则，又在第一象限，解得，故.