2022-2023学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度(单位：mm)，其频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为（    ）

A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70

【答案】C

【解析】根据直方图计算最右边两个矩形的面积可得结果.

【详解】“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为.

故选：C

2．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果.

【详解】因为点，分别是面对角线与的中点， ，，，

所以

故选:D.

3．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别判断每组向量是否共面即可.

【详解】因为，，，

所以选项ACD中的向量共面，不能作为空间的基底，

对于选项B，假设共面，则存在，使得，

，无解，不共面，可以作为空间的一组基底.

故选：B.

4．直线和，若，则与之间的距离

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，解得（舍去），，因此两条直线方程分别化为，则与之间的距离，故选B.

5．着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】联立两直线方程求出交点坐标，根据交点在第四象限列出不等式即可求出.

【详解】联立，可解得，

因为交点在第四象限，所以，解得.

故选：A.

6．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

【答案】B

【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为，

，故至少需要志愿者名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

7．如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列结论中错误的是（    ）

A．存在点E，使得平面

B．存在点E，使得平面

C．对于任意的点E，平面平面

D．对于任意的点E，四棱锥的体积均不变

【答案】B

【解析】当为的中点时，则也为的中点，可证平面，判断A是真命题；用反证法证明不存在点，使得平面，判断B是假命题；根据对于任意的点，都有平面，判断C是真命题；根据，而两个三棱锥的体积为定值，判断D是真命题．

【详解】当E为的中点时，则F也为的中点，，平面；故A为真命题；

假设平面，则在平面和平面上的射影，

分别与BE，BF垂直，可得E与重合，F与重合，而B，，，四点不共面，

不存在这样的点E，故B为假命题

平面，平面，平面平面，故C是真命题；

，平面，

四棱锥的体积为定值，故D是真命题

故选：B

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握线面垂直、线面平行的判定定理和性质定理.

8．已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设，表示出EF长度即可求出.

【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x抽，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设，则，

故

，

当且仅当时取等号.故的最小值为.

故选：A.

二、多选题

9．己知事件A，B相互独立，且，则（    ）

A．事件A，B对立 B．事件A，B互斥 C． D．

【答案】CD

【分析】求出即可判断ABC，根据和事件的概率公式可判断D.

【详解】，故A，B错误，C正确；

，故D正确.

故选：CD.

10．某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（    ）

A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为

C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为

【答案】AC

【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算总体的均值可判断C；计算总体的方差可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确；

对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；

对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C正确；

对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，总体的平均数为，方差为，

因为

，

而，

所以，

同理可得，

所以，

故选项D不正确；

故选：AC

11．已知三边所在直线分别为，则（    ）

A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为

C．的面积为 D．是直角三角形

【答案】ABC

【分析】先联立方程求出顶点坐标，求出AB边上的高所在直线斜率即可得出方程，利用点到直线距离公式可求出高，利用两点间距离公式求出，即可求出三角形面积，根据斜率关系可判断D.

【详解】由得；由得；由得；

因为，所以AB边上的高所在直线斜率为，则方程为，即，故A正确；

AB边上的高为点到直线的距离，故B正确；

因为，所以的面积为，故C正确：

由斜率关系可知，是的任意两边均不垂直，D错误.

故选：ABC.

12．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则（    ）

A．平面

B．三棱锥的体积为4

C．存在点，使得

D．线段的长度的取值范围为

【答案】ACD

【分析】选项A：由题意得到平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断选项A；

选项B：根据即可判断选项B；

选项C：作交于，连接，当为中点时，满足；

选项D：根据题意分析出当点在点或点处时，线段的长度取得最大值；当点在点处时，线段的长度取得最小值，从而可求出线段的长度的取值范围为.

【详解】平面平面，平面，平面，故正确；

，故错误；

连接，作交于，连接，

平面，为与平面所成的角，

平面，为与平面所成角．

直线，与平面所成角的大小相等，，

所以，

又，，所以点在的中垂线上，即点在线段上运动，

当点与点重合时，，故正确；

，为棱上靠近的三等分点，，，，

，，

当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为；

当点在点处时，线段的长度取得最小值，最小值为，

线段的长度的取值范围为，故正确．

故选：．

三、填空题

13．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计事件M发生的概率为___________.

【答案】

【分析】求出事件M发生的情况即可求出概率.

【详解】事件A包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，故所求概率为.

故答案为：.

14．已知，，则在上的投影向量为_______（用坐标表示）

【答案】

【分析】利用投影向量的定义求解.

【详解】因为，，

所以，

设在上的投影向量为，

则，

故答案为：

15．直线关于直线的对称直线的方程为___________.

【答案】

【分析】设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出.

【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为，

则可得，

由题可得在直线上，

所以，整理可得所求的对称直线方程为.

故答案为：.

16．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球表面积为___________.

【答案】##

【分析】取中点，连接，设出球心，求出的外接圆半径，根据可建立关系求出.

【详解】如图，取中点，连接，

因为，

所以，

易求得，满足，

所以，因为，所以平面，

设球心为，球半径为，设的外接圆圆心为，半径为，

可得，则，即，

在上取一点，令，则，

，，

因为在中，

所以，解得，

所以表面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．在棱长为1的正方体中：

(1)求证：平面；

(2)求直线到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，根据直线到平面距离的向量公式计算即可.

【详解】（1）证明：在正方体中，且，

故四边形是平行四边形，

所以.

又平面，平面，

所以平面.

（2）以O为原点,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

设是平面的一个法向量，

则，

令，则.

因此，直线到平面的距离为

18．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准

（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；

（2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)

【答案】（1），t=0.002；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.

【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值；

（2）设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解；

（3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.

【详解】解：(1)由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面职之和为1.

所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·

(2)由(1)知：t=0.002，

所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，

设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以

所以

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为·

(3)由频率分布直方图可得，

45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，

所以市民心理健康指数平均值为.

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

19．如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，点在棱上，且二面角的大小为，求．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）设的中点为，得，利用已知条件可证明，可得，进而可证面，利用面面垂直的判定定理即可求证；

（2）作于点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设，求出平面的一个法向量，的一个法向量，由题意知：，求得的值即可求解.

【详解】（1）设的中点为，连接，，

在等边中，可得，

在中，有，

又因为，所以，

所以，即，

又因为，，所以面，

又因为面，所以平面平面；

（2）若，点在棱上，且二面角的大小为，求．

不妨设，在中，，所以，

在底面内作于点，则两两垂直，

以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，

所以，，，，

设，

则，

设平面的一个法向量为，

所以，

令可得，，所以，

平面的一个法向量，

所以，

整理可得：，即，

所以或（舍）

所以，所以.

20．在平行六面体中，，，.

(1)求异面直线AC与所成角的余弦值；

(2)求直线与平面ABCD所成角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据向量关系即可求出.

（2）设，作平面ABCD，根据向量关系求出即可解决.

【详解】（1）设，则，

所以，则，

，则.

.

所以，

故异面直线AC与所成角的余弦值为.

（2）作平面ABCD，垂足为H，则直线与平面ABCD所成角为.

由平面向量基本定理，存在唯一确定的实数x，y，使得.

由于，

所以，

即，即，解得，

，

即，即，解得，

所以，则，

因此，，

进而可得直线与平面ABCD所成角为.

21．等腰三角形ABC的两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边BC上.

(1)求；

(2)求直线BC的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直线AB，AC的倾斜角分别为，根据即可求出.

（2）直线BC的倾斜角为，则可建立关系求出.

【详解】（1）设直线AB，AC的倾斜角分别为，则.

依题意，，

故，

求得.

（2）依题意，直线BC的倾斜角为，斜率为.

由于，

，

故，

解得，或（舍去）

因此，直线BC的方程为解得，即，

22．如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）.

（1）求实数的取值范围；

（2）设，求面积的最小值；

（3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，

【分析】（1）由直线的方程为，求出交点坐标后由纵坐标为正可得的范围．

（2）在（1）基础上，求出后可得面积，令换元后由基本不等式可得最小值．

（3）在（1）基础上，求出，不论为何值（有意义时），此值为常数，分析此式可得结论．

【详解】（1）直线的方程为，

令得，，由，得，∵，∴，

由得（时，方程组无解，不合题意），

由，∵，∴或，

综上．即．

（2）由（1）得，，，，

设直线的倾斜角为，则，，∴，

，

令，则，，

．

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值是．

（3）假设存在满足题意的，由（1），，

∴，此式与值无关，则，．

所以，存在，的值与无关．

【点睛】本题考查两直线交点问题，考查三角形面积的最小值，考查直线中的存在性命题．解题方法没有特出之处．求交点坐标，求三角形边长及夹角正弦值得三角形面积，求出的表达式．但在每一部分，又考查了其他的知识，如不等式恒成立问题，用基本不等式求最小值，存在性命题的思维方法等．本题对运算求解能力要求较高，属于困难题．