2022-2023学年广东省佛山市顺德区容山中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省佛山市顺德区容山中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜率公式计算可得.

【详解】设该直线的倾斜角为，直线的方程为，所以则该直线的斜率为，所以.

故选：B.

2．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可.

【详解】因为，所以，

于是有，

故选：D

3．若直线是圆的一条对称轴，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．

故选：A．

4．在四面体中，E为中点，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的加减法，用基底表示目标向量即可.

【详解】

如图，，

而，代入上式可得：，

故选：A.

5．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为．最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.

【详解】根据题意，最短拉索的锚，满足，，

且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，

则，即点，

同理，

又，即点，

所以，，

故选：C.

6．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.

【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点

则球心也就是正方体的中心，

所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,

它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，

我们将三角形单独抽取出来如下图所示：

所以的最小值为.

故选：B.

【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.

7．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）

A．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为

B．无论点在上怎么移动，都有

C．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且

D．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量研究直线与直线垂直、夹角问题的相关公式和结论，结合函数的性质可判断选项A、B、D；由三角形的相似关系可判断选项C．

【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正方体的棱长为1，则

∵点是线段上的动点，∴可设，，

∴，，，

设是平面的一个法向量，则，即，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

∴当时，取最大值，即当点移动至中点时最大，

由于，则的最大值大于，故A错误；

∵，，

∴，

∴无论点在上怎么移动，都有，故B正确；

若不是的中点，则与是异面直线；当为的中点时，也是的中点，与均在平面内且必相交，所以当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，连和，如图，

根据，可得＝＝2，故C正确；

∵，

设异面直线与所成角为，则

，∴，故D正确．

故选：A．

二、多选题

8．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（    ）

A．

B．事件与事件相互独立

C．与和为

D．事件A与事件B互斥

【答案】ABC

【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.

【详解】，

在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确

，故A正确

，故C正确

事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.

故选：ABC

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.

【详解】由题设，，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点．

B．经过两点的直线方程为

C．直线的倾斜角为

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】ABD

【分析】将直线方程化为结合点斜式判断A选项；根据斜率公式和点斜式方程判断B选项；根据倾斜角与斜率的关系求解判断C选项；根据直线位置关系，并结合点斜式方程求解判断D选项.

【详解】解：对于A选项，即为，过直线过点，故A选项正确；

对于B选项，经过两点的直线方程为，故B选项正确；

对于C选项，直线的斜率为，故倾斜角为，故C选项错误；

对于D选项，直线的斜率为，所以过点且垂直于直线的直线斜率为，方程为，即，故D选项正确.

故选：ABD

11．已知点和点，是直线上的一点，则的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】过点作直线的对称点，设，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得，，连接，由三点共线的性质可得的范围，从而可得结论．

【详解】解：点和点，是直线上的一点，

过点作直线的对称点，设，

可得，，

解得，，即，

连接，可得，

当且仅当，，三点共线时，取得最小值为，

结合选项可知的可能取值是，，．

故选：ABC．

12．设正方体的棱长为2，下列命题正确的有（    ）

A．

B．二面角的正切值为

C．若，则正方体内的M点所形成的面积为

D．设P为上的动点，则三棱锥的体积为

【答案】BCD

【分析】根据正方体建立空间直角坐标系，利用坐标运算可以验证选项A，B；利用四点共面确定M点区域，即可求解面积，验证选项C；利用三棱锥体积转换，求解三棱锥的体积，验证D选项.

【详解】解：如图，因为正方体，建立空间直角坐标系

则

对于选项A，，

故，选项A错误；

对于选项B，由于正方体中有平面，

所以可以作为平面的一个法向量

又

所以

所以

则是平面的一个法向量

设二面角的大小为，且为锐角

所以，

故，则，故B选项正确；

对于选项C，若，则若四点共面

则正方体内的M点所形成区域为三角形，且

则，故C选项正确；

对于选项D，设P为上的动点，则三棱锥的体积

，故D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为__________.

【答案】

【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角.

【详解】解：因为直线l的一方向向量为，

所以直线的斜率为，，

设直线l的倾斜角，则，

所以，即.

故答案为：

14．已知 三点不共线，O为平面外一点，若向量，且点P与共面，则实数______．

【答案】

【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案.

【详解】由于点P与共面, 三点不共线,

故存在实数，（不同时为0），使得，

则,

即，

而，故，即得，

故答案为：.

15．已知实数x，y满足直线l的方程，则的最小值为______．

【答案】

【分析】将问题转化求点到直线l：上点的距离最小值，即可得结果.

【详解】由题意，表示点到直线l：上点的距离，

所以其最小值为.

故答案为：

16．甲乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.则甲学校获得冠军的概率为__________.

【答案】0.6##

【分析】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出.

【详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

故答案为：0.6

四、解答题

17．已知向量，.

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；

（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.

【详解】（1）∵，，

∴，，

∴；

（2）设与的夹角为，则，

，，，，

∴，

∴向量与夹角的余弦值为.

18．求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；

(2)与圆同圆心且过点的圆的方程

(3)A(0，3)， B(4，0) C（0，0）求三角形ABC的外接圆方程

【答案】(1)或；

(2)；

(3).

【分析】（1）设圆心的坐标为，求出的值即得解；

（2）设圆的方程为，求出即得解；

（3）求出圆心和半径即得解.

【详解】（1）解：设圆心的坐标为，所以或.

所以所求圆的标准方程为或.

（2）解：设圆的方程为，代入，

得. 所以圆的标准方程为.

（3）解：所以的垂直平分线方程为，边的垂直平分线方程为，

所以圆心坐标为，半径

则三角形ABC的外接圆的标准方程为.

19．如图，在长方体中，，，求：

(1)点到直线BD的距离；

(2)点到平面的距离；

(3)异面直线之间的距离.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可.

【详解】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，

所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；

（2）由(1) ，，，

设平面的法向量，则，所以，

取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；

（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，

取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.

20．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响.

(1)求该小组未能进入第二轮的概率；

(2)该小组能进入第三轮的概率；

(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解；

（2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可；

（3）乙猜歌曲的次数不小于2即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可．

【详解】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A，

则，

故该小组未能进入第二轮的概率为．

（2）解：设该小组能进入第三轮为事件B，

则，

故该小组能进入第三轮的概率为．

（3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C，

．

故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为．

21．已知的三个顶点、、．

(1)求边所在直线的方程；

(2)边上中线的方程为，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；

（2）首先根据直线方程，可得，然后利用点到直线距离，得到点到直线的距离为：，再根据，得到，最后解方程组即可得到参数的值.

【详解】（1）因为、，所以BC边所在直线的方程为：；

（2）BC边上中线AD的方程为，所以有，

点A到直线BC的距离为：，，因为，

所以有，

因此有或，解得：或，

所以点A的坐标为：或．

22．如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）

(1)若，设平面面，求证：；

(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.

【答案】(1)证明见解析；

(2)为中点.

【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有、，再由线面垂直的判定及性质得，进而有面，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；

（2）构建空间直角坐标系求的坐标，设，可得，再分别求出面、面的法向量，结合已知面面角的大小求参数，即可确定点的位置.

【详解】（1）由题知面面，则，

由为底面圆的直径，则，

由，面，

面，

又∵面，∴，

又，面，

面，

又∵面，故.

由，在中，由射影定理：，

故面面,

∴面，又面面，面，

∴.

（2）由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，

则，

设，，

设面的法向量为，则，

令，则，

又平面的一个法向量

设平面与平面的夹角为，则，

解得或，

其中时重合，不合题意，

故当平面与平面夹角为时，此时为中点.