2022-2023学年广东省广州市第七中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第七中学高二上学期期中数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第七中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知两点到直线的距离相等，则（    ）A．2 B．  C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D2．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，因为，所以，，,所以点P到AB的距离．故选：C.3．过三点的圆交轴于，两点，则（    ）A． B．8 C． D．10【答案】A【分析】设圆的普通方程，代入三个点的坐标列出方程组即可求得圆的方程，然后求出弦心距利用勾股定理即可求得弦长.【详解】根据题意设圆的方程为：，其中，由于圆过点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)，则，解得，此时，满足题意.故圆的方程为，即，圆心到y轴的距离为1，故圆被y轴截得的弦长为，即|MN|＝故选：A4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选：B5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B6．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，对于A，，，，与不垂直，A不是； 对于B，，，，，B是； 对于C，，，，与不垂直，C不是； 对于D，，，，与不垂直，D不是. 故选：B7．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，故选：A8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.在点D处建立如图所示空间直角坐标系，则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,又点F距平面的距离为1，所以,的最小值为.故选：D 二、多选题9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（    ）A．三棱锥的体积不变 B．平面C． D．平面平面【答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.【详解】对于A，的面积是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，平面，∴平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P在上，故可设，则，，，则不一定为0，和不垂直，故C错误；对于D，设，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正确.故选：ABD.10．如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（    ）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为【答案】ABC【解析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【详解】由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.11．已知直线，，则（    ）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.【详解】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有 ，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；故选：ABC 三、填空题13．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．【答案】6【分析】根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】，且直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，，即，解得：.故答案为：14．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.【答案】【分析】由斜率相等得的关系．【详解】解析：由题意得，ab+2(a+b)=0，．故答案为：．15．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．【答案】##-0.125【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.【详解】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又，，当且仅当取“=”，所以的最小值为.故答案为：16．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.【答案】2.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力. 四、解答题17．如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先由已知推出，，再由线面垂直判定定理得到平面，最后由面面垂直判定定理推出平面平面；(2)建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式直接计算即可.【详解】解：（1）证明：∵平面，平面，∴.又∵四边形为菱形，∴.∵，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）设，如图，以为原点建立空间直角坐标系.易求得. ，，，，，由（1）知平面的法向量为.，，设平面的法向量为，∴令 则∴.∴，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定、通过空间直角坐标系计算二面角的余弦值，属于中档题.18．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.【详解】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，即，由得：，即外心.（2）设，则重心，将代入欧拉线得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（与重合，不合题意），，重心.（3）由（2）知：；由（1）知：，边的高所在直线方程为：，即；由得：，垂心.19．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得，再利用弦长求的面积．【详解】（1）设直线的方程为．因为直线与圆交于两点，所以，解得．所以的取值范围为．（2）设，．将代入方程，整理得，所以，，所以．由题设得，解得，所以直线的方程为，所以圆心在直线上，所以．又原点到直线的距离，所以的面积．20．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为②BC边上的中线所在的直线方程为______，求直线AC的方程．【答案】(1)；(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为. 【分析】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.【详解】（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，所以直线AB的方程为： ；（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，由，解得，所以点，设点B关于的对称点，则，解得，所以，又点在直线AC上，所以，所以直线AC的方程为，所以直线AC的方程为；若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，由，解得，所以点，设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，又点C在直线上，由解得，即，所以，所以直线AC的方程为，所以直线AC的方程为.21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，所以.即直线OA,OB斜率之和为定值.