2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角得到，代入点坐标得到直线方程.
【详解】直线倾斜角，故，直线方程为，即.
故选：C
2．如图，在长方体中，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.
【详解】在长方体中，.
故选：D.
3．两圆与的公共弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定公共弦直线方程为，再利用弦长公式计算得到答案.
【详解】两圆与的公共弦直线方程为，
到圆心的距离为，故公共弦长为.
故选：D.
4．圆：在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率即可.
【详解】圆：，圆心，
，
所以切线的斜率为 ，
所以在点处的切线方程为 ，
即.
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的切线的求法，要注意几何法的应用，属于基础题.
5．已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.
【详解】解：对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；
对于D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；
故选：D
6．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】因为直线恒过定点，结合，，可求．
【详解】解：因为直线恒过定点，
又因为，，
故直线的斜率的范围为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了直线斜率的求解，属于基础题．
7．已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到，得到答案.
【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知，
在直角中，，
在中，根据余弦定理，，
，故，
故异面直线所成的角为.
故选：C.
8．已知点，是轴上的动点，是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出关于轴的对称点的坐标，则，再由求出即可.
【详解】解：因为关于轴的对称点为，则
所以，当且仅当、、三点共线（且在与之间）时取等号，
由圆的圆心为，半径，
因为，
所以，即的最大值为；
故选：D
二、多选题
9．若向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．∥D．
【答案】AD
【分析】对于A，直接求出两向量的模进行判断，对于B，通过求两向量的数量积判断，对于C，由共线向量定理判断，对于D，利用向量的夹角公式求解判断.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以与不垂直，所以B错误，
对于C，若∥，则存在唯一实数，使，所以，
所以，方程组无解，所以与不平行，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：AD.
10．已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．圆被直线截得得弦长为2
【答案】BD
【分析】根据圆方程得到圆心，半径，得到A错误，代入点坐标得到B正确，圆心不过直线得到C错误，计算弦长得到D正确，得到答案.
【详解】，即，圆心，半径，
圆的半径为，A错误；
，故点在圆外，B正确；
圆心不在直线上，故C错误；
当时，，解得或，故弦长为2，D正确.
故选：BD
11．以下四个命题正确的有
A．点和点关于直线对称
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．直线关于原点对称的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
【答案】ABD
【分析】则的中点在直线上，且与直线垂直，可判断A选项的正误；求出圆上的点到直线的距离等于的点的个数，可判断B选项的正误；求出直线关于原点对称的直线方程，可判断C选项的正误；求出经过点且在轴和轴上截距互为相反数的直线方程，可判断D选项的正误.
【详解】对于A，若点和点关于直线对称，
则的中点在直线上，且与直线垂直，
所以A正确；
对于B，设与直线平行且与直线之间的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，圆上的点到直线的距离等于的点的个数即为
直线、与圆的公共点的个数之和，
圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，直线与圆相切，
故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B正确；
对于C，直线关于原点对称的直线为，
在直线上任取一点，则点关于原点的对称点在直线上，
则有，即，
因此，直线关于原点对称的直线方程为，C不正确；
对于D，若所求直线过原点，可设所求直线的方程为，则，
此时，所求直线的方程为，
若所求直线不过原点，可设所求直线的方程为，则，
此时，不满足题意.
综上所述，经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则___________.
【答案】1
【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为，，
从而，解得.
故答案为：1.
13．若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为_________.
【答案】
【解析】根据两直线平行，求得，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，
即两条分别为和，
所以两直线间的距离为.
故答案为：
【点睛】两平行线间的距离的求法：
1、利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
2、利用两平行线间的距离公式进行求解.
14．如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.
【答案】
【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即可得解.
【详解】直三棱柱共点于的三条棱两两垂直，
则以为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱有相同的外接球，
外接球的直径2R即为正方体体对角线长，即，
此球的体积为，
故答案为：.
15．在三角形中，，，为的中点，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设出，则，由得到，结合余弦定理得到，从而得到，由三角形三边关系得到，换元后得到，由基本不等式求出最小值，结合在上单调递减，在单调递增，可求出的最大值.
【详解】设，则，
因为为的中点，，
所以，
由三角形三边关系可知：且，解得：，
在三角形ABD中，由余弦定理得：，
在三角形ACD中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
解得：，
由余弦定理得：，，
令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得：，
因为，故，
由于在上单调递减，在单调递增，
故当取得最小值时，取得最大值，
此时，.
故答案为：.
【点睛】三角形中常用结论，，，，本题中突破口为由得到，结合余弦定理得到，进而利用基本不等式求最值.
四、解答题
16．棱长为2的正方体中，为侧面内的动点，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．在线段上运动
C．的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【分析】证明平面，平面得到，B正确，当与重合时，与夹角为，A错误，计算，C正确，计算得到D正确，得到答案.
【详解】易知平面，又，可知平面，又平面，
平面平面，故，B正确；
当与重合时，与夹角为，A错误；
设的中点为，则，，，
故，
故，即的最小值为，C正确；
易得平面，
为定值，D正确.
故选：BCD
17．如图，在三棱锥中，平面，点分别为棱的中点
(1)在图中作出经过且与平面平行的截面图，并给出你的作法理由；
(2)求点到平面的距离；
【答案】(1)截面图以及作法理由见解析；
(2)2.
【分析】（1）取中点为，构造平面，再通过线面平行证明面面平行即可；
（2）利用线线垂直证明面，即可求得点面距离.
【详解】（1）取中点为，连接，如下所示平面即为所求截面：
下证平面//面：
在△中，因为分别为的中点，故可得//，
又面面，故//面；
在△中，因为分别为的中点，故可得//，
又面面，故//面；
又面，故面//面.
（2）因为面面，故，
又，面，故面，
故点到平面的距离即为.
18．已知点，直线和，
(1)过点作的垂线，求垂足的坐标；
(2)过点作直线分别于交于点，若恰为的中点，求直线的一般式方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线垂直得到，计算直线方程为，联立方程解得交点即答案.
（2）设，，分别代入直线得到方程组，解得，再计算直线方程得到答案.
【详解】（1），即，则，直线为，
即，联立方程，解得，故.
（2）不妨设，则，则，
解得，故直线过点和点，，
故直线方程为，即.
19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上；
(1)求圆的标椎方程
(2)若斜率为1的直线与圆交于不同两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)结合已知条件，设出圆心坐标，然后利用即可求解；(2)结合圆的性质可知，为等腰直角三角形，进而得到圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）因为圆心在直线上，则，
所以圆的标椎方程为：，
因为，，且，
所以，
解得，，
从而，
故圆的标椎方程为：.
（2）由题意可设直线的方程为：，即，
因为，
所以由圆的性质可知，为等腰直角三角形，且直角边为，
故点到的距离为1，即，
解得，
故直线的方程为：或.
20．如图，正方体中，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）先以为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可.
（2）先求出平面的法向量，再根据直线与平面所成的角的正弦值
即可得到答案.
【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设
则，，.
又 为平面的法向量

又平面.
故：平面.
（2）由（1）知，设平面的法向量,
则，即，令，则
设直线与平面所成的角为，则.
故答案为：.
21．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.
(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）；
(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.
【答案】(1)，定点
(2)
(3)
【分析】（1）计算以为圆心，为半径的圆方程，与圆的方程相减得到直线方程.
（2）线段的中点为，根据得到在以为直线的圆上，计算圆心的半径即可.
（3）设出切线方程，根据相切得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，得到最值.
【详解】（1）圆，即，圆心，半径，
，，
故以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
故直线的方程为，
化简得到，直线过定点
（2）设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上，
圆心为，即，半径为
故的轨迹方程为：.
（3）设切线方程为 , 即 ，
故到直线 的距离，即，
设的斜率分别为，由韦达定理可得 ，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两圆方程相减求弦所在的方程是解题的关键，韦达定理的应用也是考查的重点.