2022-2023学年贵州省黔东南州从江县第一民族中学高二上学期期中质检测试数学试题（解析版）

2022-2023学年贵州省黔东南州从江县第一民族中学高二上学期期中质检测试数学试题

一、单选题

1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．

【详解】∵，

∴，

故选：C．

2．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线方程可求得直线斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.

【详解】直线方程可化为：，则直线的斜率，直线的倾斜角为.

故选：A.

3．已知向量，，且与互相平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量共线的坐标表示求解

【详解】，，

则，解得，

故选：D

4．已知直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，则实数a的值为（　　）

A．﹣2 B． C．1 D．1或﹣2

【答案】B

【分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得a的值．

【详解】∵直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，

∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，

故选：B．

5．两条平行直线与之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.

【详解】因为直线与直线平行,

所以,解得,

将化为,

所以两平行直线与之间的距离为.

故选：C

6．正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基底法可得向量与向量与的模，再根据夹角公式可得解.

【详解】

如图所示，

由四面体为正四面体得，

设正四面体的棱长为，

则

以，，为基底，

则，，

所以

，

，，

所以，

所以直线和夹角的余弦值为，

故选：D.

7．若直线与圆总有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】先得到直线的定点，题意可转化成定点在圆内，即可得到答案

【详解】由直线可得过定点，

若要使直线与圆总有两个不同的交点，

所以定点在圆内，

所以，解得或，

故选：C

8．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，然后利用余弦定理列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，

因为，所以点到渐近线，即的距离，

又，所以，

，则由双曲线的定义可知，

在中，由余弦定理，得，

整理，得，

所以双曲线的离心率为.

故选：A

二、多选题

9．已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（    ）

A．圆M的圆心为，半径为1 B．直线AB的方程为

C．线段AB的长为 D．线段AB的长为

【答案】ABD

【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断CD．

【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，

A：则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；

B：联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，

可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；

C：圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，

则线段AB的长为2，故C错误，D正确.

故选：ABD

10．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（    ）

A． B．直线平面

C．直线与平面所成角的正切值为 D．点到平面的距离是

【答案】ABD

【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D．

【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；

对于B，取中点，连接，，，可知且，

又且，

所以且，所以四边形是平行四边形，，

又平面，平面，平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接，则，因为平面，

所以平面，

所以与平面所成的角为，

所以，故C错误；

对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；

故选：ABD

11．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ）

A．M的离心率为 B．M的标准方程为

C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点

【答案】ACD

【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可

【详解】根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，

则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②

联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；

因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为

对A，则离心率为 ，故 A 正确 .

对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；

对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；

对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .

故选： ACD

12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ）

A． B．当时，的面积为

C． D．的周长的最大值为

【答案】AC

【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.

【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；

当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；

因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，

∵，则直线，

联立方程，得到

∴，

∵在椭圆上，则，即

∴

同理，

于是

，

故C项正确；

设椭圆的右焦点为，

当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，

如果不经过右焦点，则连接，，

可知的周长小于，

所以的周长的最大值为，故D项错误.

故选：AC.

三、填空题

13．写出直线的一个方向向量______．

【答案】

【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.

【详解】由题意可知，直线可以化为，

所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.

故答案为：.

14．圆的圆心关于直线的对称点为_____________.

【答案】

【分析】求出圆心的坐标，设出对称点的坐标为，根据点关于直线对称得到，解方程即可求出结果.

【详解】圆的圆心为，设关于直线的对称点为，所以，解得，所以，

故答案为：.

15．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在x轴上，中心在原点，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】根据双曲线定义把转化为，当P，

，三点共线时，取得最小值，利用两点间距离进行求解.

【详解】如图，由双曲线第一定义得①，

又由三角形三边关系可得②（当点P为与双曲线的交点时取到等号），

①+②得：，故，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，，则，，故，，

则．

故答案为：

四、双空题

16．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.

【答案】         

【解析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.

【详解】连接，由于是圆的切线，所以.

在中，，

所以，所以，所以直线的斜率.

，

根据椭圆的定义可知.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.

五、解答题

17．的三个顶点、、，D为BC中点，求：

(1)BC边上的高所在直线的方程；

(2)中线AD所在直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.

（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.

【详解】（1）解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.

（2）解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.

18．如图，正方体中，分别为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）先以为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可.

（2）先求出平面的法向量，再根据直线与平面所成的角的正弦值

即可得到答案.

【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设

则，，.

又       为平面的法向量

又平面.

故：平面.

（2）由（1）知，设平面的法向量,

则，即，令，则

设直线与平面所成的角为，则.

故答案为：.

19．已知圆过点，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程;

(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）结合圆的几何性质求得圆的方程.

（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由此求得直线的方程.

【详解】（1）设圆心，由得：

，

解得，所以圆心为，半径为，

所以圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相切，符合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

圆心到直线的距离，解得，

所以直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

20．已知动点到点的距离与到直线的距离之比为2．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)直线l的方程为，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由距离公式列方程后化简求解，

（2）由弦长公式求解

【详解】（1）设点P的坐标为，则由题意得，

化简得，即为点P的轨迹C的方程．

（2）将代入中，并化简得：，

设A，B两点的坐标分别为：，，

由韦达定理可得，，

∴．

21．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，.

(1)证明：平面；

(2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.

【答案】(1)证明见解析.

(2)存在；．

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；

（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.

【详解】（1）正方形中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，，且，又，

，又，

，又，，，

平面；

（2）

由（1）知，平面，

以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

设点，，，

，

，

设平面的法向量为，

，

令，

显然，平面的法向量为，

，

即，即

即，解得或（舍），

则存在一点，且.

22．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；

（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.

【详解】（1）由题意得，解得：．

所以椭圆C的方程为．

（2）由题意可知．

若直线l斜率存在，设直线l的方程为，

联立得，整理得．

由题意可知恒成立，所以，

假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，

所以，整理得，

即，

整理得，，

则，

即，解之得．

若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分．

综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分．