2022-2023学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数的实部为（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【分析】根据复数化简即可.

【详解】.

故选：A.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求解二次不等式解得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

3．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在三角形中根据正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理可得，解得.

故选：C.

4．在空间直角坐标系中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

5．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，然后代入计算即可得到结果.

【详解】根据题意可得，圆心，，则，

由圆的切线定理可得.

故选:A

6．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用对数函数单调性比较大小，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为，因此，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

7．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.

【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，

因为两圆的圆心距，

所以两圆外离，

所以．

故选：B.

8．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（    ）

A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗

【答案】B

【分析】根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再结合圆柱的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果.

【详解】根据题意，作图如下：

如图所示，因为，，，所以.

因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，

则由圆台公式可得：；

因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，

即

则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.

故选：B.

二、多选题

9．正方体的棱长为2，则（    ）

A．异面直线和所成的角为 B．异面直线和所成的角为

C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为

【答案】BC

【分析】连接，，，，可得异面直线和所成的角为，利用为等边三角形可判断A B；因为，根据等体积可得点到平面的距离可判断C D.

【详解】如图，连接，，，，则，所以异面直线和所成的角为，因为，所以为等边三角形，即，故A错误，B正确；因为，所以，，所以，

，所以，所以点到平面的距离为，故C正确，D错误.

故选：BC.

10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】ABD

【分析】根据空间向量共面定理判断．

【详解】因为，，，

所以，，共面，，，共面，，，共面.

假设存在实数，满足，

则，此方程组无解，因此，，不共面.

故选：ABD．

11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ）

A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期是

C．的图象关于点对称 D．在上单调递减

【答案】ABD

【分析】根据题目图像先求出，再求得即可解决.

【详解】由图可知，的图象关于直线对称，

所以的最小正周期，所以，

则.

由五点作图法可知，

所以，所以.

将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则，则A，B错误.

令，，解得，，当时，，则C正确.

令，，解得，，则D错误.

故选：ABD.

12．已知直线，圆（为圆心），则（    ）

A．直线恒过点

B．到直线的最大距离为

C．直线与圆一定相交

D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4

【答案】ABD

【分析】直线方程整理为关于的恒等式，由此可求得定点坐标判断A，由圆心与定点连线和直线垂直时距离达到最大值计算后判断B，由定点与圆的位置关系判断C，由直线的斜率小于0，可设出截距式方程，然后得出三角形面积，利用基本不等式求得最小值判断D．

【详解】直线，令得则直线恒过点，A正确；

因为，所以点在圆上，则直线与圆相切或相交，C错误；

，当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确；

当时，直线的斜率为，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知复数满足，则______.

【答案】

【分析】将复数和其共轭复数以代数形式表示，代入原式，列方程组解出a、b，再求得的模即可.

【详解】设，则

由题得，

所以，

所以，解得

故，.

故答案为：.

14．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.

【答案】17

【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.

【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：

12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，

，

这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，

即17℃.

故答案为：.

15．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：______.

【答案】1（答案不唯一，只要即可）

【分析】计算，，根据点到直线的距离公式得到，解得答案.

【详解】因为，，

所以点到直线的距离，

解得.

故答案为：1（答案不唯一，只要即可）

四、双空题

16．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为______，______.

【答案】         

【分析】令，可求出直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的关系可求出，再由可求得的值.

【详解】令，得，则直线在轴上的截距为，

依题意可得，

因为

所以，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）求两条平行直线与间的距离；

（2）求过点且与直线垂直的直线方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；

（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.

【详解】（1）两条平行直线与间的距离.

（2）依题可设所求直线的方程为，

将点的坐标代入得.

则，

故所求直线的方程为.

18．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.

(1)证明：平面.

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；

（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，.

因为分别是的中点，所以,.所以

在长方体中，为平面的一个法向量.

因为，且平面，

所以平面.

（2）,.

设为平面的一个法向量，则，

不妨设，则.

设与平面所成角为，则.

即与平面所成角的正弦值为.

19．如图，在四棱锥中，底面，，，，.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；

（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.

【详解】（1）因为底面，底面，

所以，，

且，，所以，

以为坐标原点，分别以为轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，

所以，

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2），设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

易知是平面的一个法向量，

因为，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理的边角互化即可求解；(2)结合(1)中条件，利用正弦定理的边角互化以及三角恒等变换即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得，，

即.

因为，

所以，

即.

因为，所以，则.

因为，所以.

（2）由(1)中可知，，则，

由正弦定理可知，，

因为为锐角三角形，所以，则，

所以，

从而.

故的取值范围为.

21．为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：

①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题.

②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.

③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.

已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.

(1)求乙同学最终得10分的概率；

(2)记为甲同学的最终得分，求的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可；

（2）甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分，分别计算概率再相加即可.

【详解】（1）设乙同学最终得10分为事件，

则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，则，

即乙同学最终得10分的概率是.

（2）设“”为事件，

，

，.

故.

22．已知圆．

(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；

(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；

（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.

【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，

到直线的距离，

因为圆被直线截得的弦长为8，所以，

解得，故圆的直径为.

（2）圆的一般方程为，

令，，解得，所以定点的坐标为.

联立解得或

所以，因为，所以.

又方程表示一个圆，所以，

所以的取值范围是.