2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二上学期10月居家测试数学（平行班）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二上学期10月居家测试数学（平行班）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二上学期10月居家测试数学（平行班）试题 一、单选题1．若直线和直线平行，则的值为（    ）A．1 B． C．1或 D．【答案】A【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.【详解】直线和直线平行，，解得或，经检验不符合题意，∴故选：A．2．已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得，再求点F到直线的距离即可.【详解】令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得，点到直线：的距离，又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，所以的最小值为.故选：B3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的焦点坐标，从而可得参数．【详解】抛物线的标准方程是，其中，焦点坐标为，即为椭圆的一个焦点坐标，所以，．故选：B．4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.【详解】根据题意，， 在上的投影向量可为故选：A.5．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意得到，然后根据得到，最后简单计算即可.【详解】由题意可得，，所以，所以，，所以离心率.故选:A.6．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】D【分析】由即可求得【详解】由题意故选：D7．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．【详解】解：因为，所以，因为点，分别是线段，的中点，所以，所以．故选：A．8．直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.9．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值．【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，由直线上的点向圆引切线，要使切线长最小，则最小，此时，所以切线长的最小值为．故选：A10．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得，，所以C的长度为.故选：B11．已知为抛物线上的焦点，、为抛物线上两点，且满足，则直线的斜率为（    ）A． B． C．±1 D．【答案】B【分析】延长交抛物线的准线于点，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，设，则，，利用抛物线的定义结合相似三角形可求得，求出，可得出直线的倾斜角，进而可求得直线的斜率.【详解】延长交抛物线的准线于点，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，设，则，，由抛物线的定义可得，，因为，则，所以，，即，解得，所以，，因为，则，所以，直线的倾斜角为或，因此，直线的斜率为.故选：B.12．已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递推公式可验证知数列是周期为的周期数列，则由可求得结果.【详解】，，，，，……，以此类推，可知数列是周期为的周期数列，.故选：A.13．已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，所以，所以的最小值为，故选：A．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.14．设分别是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，则的值为（　　）．A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据题意设出椭圆的长轴长以及双曲线的实轴长，再根据椭圆和双曲线的定义得到的关系，由此可求解出的值.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距长为，因为，所以在双曲线的左支上，如下图所示（不妨设在第二象限），因为线段的垂直平分线经过点，所以，所以，所以，所以，故选：B.15．已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ）A． B．9 C．7 D．【答案】B【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，，．点关于轴的对称点为，，所以，，故选：B．16．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．17．设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合椭圆的定义和均值不等式得到当且仅当时等号成立，进而根据可得，从而结合离心率的范围即可求出结果.【详解】根据题意可知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，即，故选：A． 二、填空题18．已知数列的前n项和，则其通项______.【答案】【分析】根据，利用数列前n项和与通项的关系求解.【详解】当时，；当时，.故故答案为：19．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【分析】利用双曲线的定义和勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式可得出，进而可得出双曲线的渐近线方程.【详解】，，则，所以，，因为，所以，，可得.因此，双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点与双曲线的两个焦点、构成的称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解.20．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.【答案】或【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线的方程为:；（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,故答案为: 或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程21．若实数x，y满足，则的取值范围为___________.【答案】【分析】由题得，它表示以点为圆心，以1为半径的圆，表示圆上的动点和点所在直线的斜率，数形结合求出的取值范围.【详解】由题得，它表示以点为圆心，以1为半径的圆，表示圆上的动点和点所在直线的斜率，当直线和圆相切时，斜率最小，设此时斜率为，直线方程为，即，所以，.所以的取值范围为.故答案为： 三、解答题22．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，所以a＝1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）由圆心到切线的距离dr＝2，化简得：12k＝5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题23．如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.【答案】（1）见解析；（2）为中点．【详解】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.                                         ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM   ∴BM⊥平面ADM                                                  ∵AD⊂平面ADM  ∴AD⊥BM.                                 （2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD的一个法向量，，设平面AME的一个法向量则取y=1，得所以，因为，求得，所以E为BD的中点.24．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论；（2）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可.【详解】（1）平面，平面，平面平面；为等边三角形，为中点，，又平面平面，平面，平面，取中点，连接，则，平面，则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，平面，平面.（2）由（1）知：平面的一个法向量为；又，，点到平面的距离.25．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点是椭圆上一点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为椭圆上不同于的两点，且直线关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得方程组，求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程是，，联立椭圆方程由韦达定理可得：，同理可求得，即可求出直线的斜率.【详解】（1）∵∴，又在椭圆上，∴，解得，所以椭圆方程为：．（2）由（1）知，轴，设直线的斜率为k，因为关于直线对称，所以直线的斜率为．又，所以直线的方程是．设，．将上式中的k换成得，．.26．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.(1)求C的方程；(2)设M，N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P，若P的横坐标为4，求的周长.【答案】(1)(2)8 【分析】（1）由题意可得，，求出，再由可求得，从而可求得椭圆方程，（2）设，，，则直线AM的方程为，直线BN的方程为，分别将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系表示出的坐标，可得直线MN的方程，可得直线MN恒过右焦点，再利用椭圆的定义可求得结果.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，由，，可得，.则，，，所以椭圆C的方程为.（2）由C的方程可知，，设，，，则直线AM的方程为，直线BN的方程为，由，得，，所以，则.所以，由，得，所以，得所以.所以直线MN的斜率为所以直线MN的方程为，即，故直线MN恒过右焦点.则有的周长，所以的周长为8.