2022-2023学年河南省周口市项城市第三高级中学高二上学期第一次调研考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省周口市项城市第三高级中学高二上学期第一次调研考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省项城市第三高级中学高二上学期第一次调研考试数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将直线的一般式化为斜截式即可求解.【详解】由，化为斜截式得，所以直线的斜率为.故选：B.2．已知向量，，若，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由题意可得，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选:C.3．已知，则下列向量中与平行的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C不正确；对于D，因为，所以D不正确．故选：B．4．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【详解】设斜率为，倾斜角为，∵，∴，．故选：D．5．已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，所以直线方程为，故选：C．6．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解.【详解】根据空间向量的运算法则，易得，又因为，故.故选：A．7．若直线2x﹣y﹣4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a﹣b的值为A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6【答案】A【详解】试题分析：先将直线的方程化成截距式，结合在x轴和y轴上的截距分别为a和b，即可求出a，b的值，问题得以解决．解：直线2x﹣y﹣4=0化为截距式为+=1，∴a=2，b=﹣4，∴a﹣b=2﹣（﹣4）=6，故选A．【解析】直线的截距式方程．8．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用直线斜率与倾斜角的关系求解作答.【详解】设直线l的倾斜角为，依题意，，，当时，，当时，，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：A9．在直三棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则（    ）A．平面CMN B．平面CMNC． D．【答案】C【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的位置关系，可得答案.【详解】如图，以C为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，.，，，，.设平面CMN的法向量，则，令，得.因为与不垂直，所以与平面CMN不平行，故A不正确；因为与不平行，所以AM与平面CMN不垂直，故B不正确；因为，所以，故C正确；因为与不平行，所以AM与不平行，故D不正确.故选：C.10．在正方体中，为棱的中点，则．A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】画出正方体，如图所示．对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．故选C．【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．11．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行解出的值即可.【详解】由题意，若，所以，解得或，经检验，或时，，则“”是“”的充分不必要条件，故选：C．12．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】设为中点，因为底面是边长为4的菱形，且，所以,而 ,所以 ；以为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，.设是平面的法向量，因为，，则，令，得.设点到平面的距离为，.因为，所以，得.故选：D. 二、填空题13．已知，，，点，若平面，则点的坐标为______．【答案】【分析】由已知可得，则，从而可求出，进而可求出点的坐标.【详解】因为，，，，所以，，，因为平面，所以，即，得所以点的坐标为．故答案为：14．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______.【答案】【分析】根据点斜式写出直线方程，令即可求出在轴上的截距.【详解】因为直线过点，且的斜率为2，所以直线方程为，即，令得，，即直线在轴上的截距为，故答案为：【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，直线的截距，属于容易题.15．已知，，在平面内，写出平面的一个法向量：________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据在平面内，由平面的任意相交的两个向量坐标，分别与所设的法向量垂直，计算即可求出平面的一个法向量.【详解】设，因为，，所以令，得.（，且）都是平面的法向量.故答案为：（答案不唯一）16．已知正方体的棱长为4，，点为的中点，则________．【答案】【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.因为正方体的棱长为4，，点为的中点，所以，，故．故答案为：. 三、解答题17．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，，∴，，∴；（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为.18．求符合下列条件的直线的方程：(1)过点，且斜率为；(2)过点，；(3)过点且在两坐标轴上的截距相等．【答案】(1)；(2)；(3)或. 【分析】（1）利用点斜式写直线方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.【详解】（1）∵所求直线过点，且斜率为，∴，即；（2）∵所求直线过，，∴，∴，即；（3）当直线过原点时，设直线方程为，∵直线过点，∴，直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，将点代入上式，得，解得，故直线的方程为，综上，直线方程为或．19．如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.(1)证明：EFCF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系如图，根据向量的数量积为0证明垂直即可；（2）利用向量法求异面直线所成角的余弦值；（3）根据向量的模计算两点间的距离即可.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，,因为,所以，即EFCF.（2）由（1）知，所以，所以与所成角的余弦值是；（3）由（1）知，所以，即CE的长为.20．设直线l的方程为，根据下列条件分别确定k的值：（1）直线l的斜率为；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.【答案】（1）4；（2）0或3.【分析】（1）由题意得，可求得答案.（2）分直线l不过原点和直线l经过原点两种情况，由已知建立方程，解之求得答案.【详解】解：（1）因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为.由题意得，解得.（2）当直线l不过原点时，令得；令得.由题意得，解得或（不合题意，舍去）.当直线l经过原点时，由题意得，解得.综上可得或.21．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30° 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．所以，因为平面,所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面（2），，．设平面的一个法向量为则，令，则，，所以设与平面所成角为，则．因为，所以与平面所成角为30°．22．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径AB长为4，点C是圆上一点，，点D是劣弧上的一点，平面平面，且.(1)证明：平面平面POD.(2)当三棱锥的体积为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由及线面平行的判定定理可得平面PCD，根据线面平行的性质可得.根据可得，由线面垂直的性质可得，故根据线面垂直的判断定理可得平面POD，从而根据面面垂直的判定定理可证明；（2）根据三棱锥的体积可求，以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面POD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，根据即可求解.【详解】（1）证明：因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.因为平面ABCD，且平面平面，所以.因为，所以，所以，即.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面POD，所以平面POD.因为平面POC，所以平面平面POD；（2）解：因为，所以.如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.取平面POD的一个法向量.设平面PCD的法向量为，则，令，得.因为，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.