2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，，若，则与的值可以是（    ）

A．2， B．， C．－3，2 D．2，2

【答案】A

【分析】根据条件可得，然后算出即可.

【详解】因为，，

所以，解得或，

故选：A

【点睛】本题考查的是由空间向量的平行求参数，较简单.

2．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.

【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.

故选：D

【点睛】本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.

3．如图，在长方体中，（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.

【详解】在长方体中，.

故选：D.

4．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（    ）

A．2x+y-12＝0 B．x-2y-1＝0或2x-5y＝0

C．x-2y-1＝0 D．2x+y-12＝0或2x-5y＝0

【答案】D

【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.

【详解】当直线过原点时，直线方程为，即.

当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，

所以直线方程为.

故选：D

5．在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则到平面的距离等于 (　 )

A．4 B．2 C．3 D．1

【答案】B

【详解】设点到平面的距离为，则，，选B

【解析】点到平面的距离的计算.

6．在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．

【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示，

∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角．

在△OEH中，，HE＝，OH＝．

由余弦定理，可得cos∠OEH＝．

故选：B

【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．

7．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．

解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，

两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

∵当两条直线平行时，得到，

解得a=﹣2，a=1，

∴后者不能推出前者，

∴前者是后者的充分不必要条件．

故选A．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．

8．设点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【详解】试题分析：直线过定点，，若直线与线段有交点，所以或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B.

【解析】两条直线的位置关系.

【思路点晴】直线与线段没有交点，则先求出有交点时斜率的取值范围，然后取补集，就能得到没有交点时的取值范围.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁.另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论.

二、多选题

9．下列四个命题中错误的有（    ）

A．直线的倾斜角越大，其斜率越大

B．直线倾斜角的取值范围是

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

【答案】ACD

【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可.

【详解】解：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误；

直线倾斜角的取值范围是，故B正确；

若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；

当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.

故选：ACD.

10．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A．与是共线向量

B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

【答案】CD

【分析】由空间向量共线定理判断A，根据单位向量的定义判断B，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断C，利用法向量定义求得法向量判断D．

【详解】对于，不存在实数，使得，所以与不是共线向量，所以错误;

对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所以错误;

对于，向量，所以，所以C正确;

对于，设平面的法向量是，因为，所

以，即，令，则，所以D正确．

故选：.

11．下列说法正确的是（    ）

A．截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程能表示平行y轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程

【答案】BD

【分析】．当直线过原点时，无法表示；．当时，满足条件；．当倾斜角为时，无法表示；．结合两点式方程进行判断即可.

【详解】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；

对于B，当时，方程能表示平行y轴的直线，故正确；

对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错；

对于D，经过两点，的直线均可写成，故正确．

故选：BD．

12．已知直线,则下列命题正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．无论如何变化,直线不过原点

C．直线的斜率一定存在

D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

【答案】BD

【分析】根据直线方程考虑的值，当取时，显然选项A错误；将原点代入直线方程；可知选项B正确，当时选项C错误；求出直线和两坐标轴的交点，求出面积范围即可判断选项D正误.

【详解】解:由题知,直线，

若，则直线为，

倾斜角为,与选项A不符,故选项A错误，

将原点代入直线方程可得 不符，故选项B正确，

若,则直线为,斜率不存在,故选项C错误，

当直线和两坐标轴都相交时，交点为，

它和坐标轴围成的三角形的面积为，

，

故选项D正确，

故选:BD

三、填空题

13．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________.

【答案】

【解析】先联立直线方程求出交点，再由垂直求出斜率即可求出直线方程.

【详解】由方程组，解得，即交点为，

因为所求直线与直线垂直，

所以所求直线的斜率为.

由点斜式得所求直线方程为，

即.

故答案为：.

14．不论m为何实数，直线恒过的定点坐标是______________.

【答案】

【详解】直线方程即： ，

求解方程组： 可得： ，

即直线恒过定点 .

15．已知直三棱柱中,,,,为的中点,则点到平面的距离为______．

【答案】1

【分析】根据题意建立空间直角坐标系,找到点的坐标和平面的法向量,利用公式求出点到面的距离即可.

【详解】解:由题知,直三棱柱,且,

故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标系,

,,为的中点,

,

,

记平面法向量为,

即,

令,则,

到平面的距离为.

故答案为:1

16．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为__________．

【答案】

【详解】试题分析：如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，

，所以，即异面直线AD和BC1所成角为．

【解析】异面直线所成角．

四、解答题

17．已知的三个顶点坐标分别为，，，求：

(1)边所在直线的方程；

(2)边的垂直平分线所在直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用斜率计算公式可得直线的斜率，利用点斜式即可得出．

（2）利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得的垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得出．

【详解】（1）解：直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即

（2）解：线段的中点坐标为，

的垂直平分线的斜率为，

的垂直平分线的方程为，

即．

18．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】建立空间直角坐标系利用向量法即可证明线面平行.

利用法向量和直线方向向量之间的关系即可求得正弦值.

【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则

令，则，因为，所以，

因为平面，所以平面．

（2）由（1）得，，设直线与平面所成的角为，

则．

19．直线l过点P（4,1），

（1）若直线l过点Q（－1,6），求直线l的方程；

（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将P（4,1），Q（－1,6），代入到两点式方程中，得到直线方程；

（2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点坐标代入，得到y－1＝k（x－4），分别将x，y轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到的关系式，求解即可.

【详解】解：（1）直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0.

（2）由题意知直线有斜率且不为零，

设直线l的方程为y－1＝k（x－4），

l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，

故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，

直线l的方程为或y＝－2x＋9.

20．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】建立空间直角坐标系，（1）平面转化为证明与平面的法向量垂直

（2）先证明线面垂直，即证平面 ，再证面面垂直即可.

【详解】

证明以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、 轴建立如

图所示的空间直角坐标系

∵平面

∴为与平面所成的角 .

∴， ∵ ∴，

∴

( 1 ) 设 为平面 的一个法向量 ,

由即

令 ，得

又平面 ∴平面

( 2 ) 如图 , 取的中点 连接

则

∵

又

∴

又 ∴平面

又平面 ∴平面⊥平面

21．直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．

【答案】，或

【详解】设所求直线方程为. ∵直线过点P(－5，－4)，

∴，得4a＋5b＝－ab，①

又由已知得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，②

由①②解得或

∴所求方程为或.

即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.

【解析】截距式直线方程，三角形面积.

22．如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，为线段的中点．

（1）求到平面的距离及三棱锥的体积；

（2）求证：平面．

【答案】（1）到平面的距离为，；（2）证明见解析.

【分析】（1）设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离，计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积；

（2）利用向量法证明出，，可得出，，再利用线面垂直的判定定理可证得平面.

【详解】（1）设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

易知轴在平面内，且轴，则、、、，

，，，

设平面的一个法向量，

则，取，得，

到平面的距离，

又，

因此，三棱锥的体积；

（2）证明：由（1）易知，则，，

，，

，，，平面.

【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.