2022-2023学年湖北省荆州市部分重点高中高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州市部分重点高中高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为45°，且过点，则在直线上的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由点斜式求解直线方程，将各点代入检验即可.

【详解】直线的斜率，方程为，即，将A，B，C，D中各点代入知， A正确.

故选：A

2．两直线和互相垂直，则的值是（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．1或

【答案】C

【分析】由直线的垂直关系可得的方程，解方程可得值．

【详解】因为直线和直线互相垂直，

所以，解得：或.

故选：C．

3．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由得，结合中点公式可得，由线性运算即可求解.

【详解】由得；由点为线段的中点得，

∴，

故选：D

4．“”是“两点到直线的距离相等”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】两点到直线距离相等分两种情况，或过的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由命题的充分、必要条件判断即可.

【详解】“两点到直线的距离相等”“或过的中点”.

当时，由得，；

当过的中点时，由的中点为得，.

所以“两点到直线的距离相等”“”，

故选：A.

5．设直线 l 的方程为 x  y sin 2  0 ，则直线 l 的倾斜角的范围是（    ）

A．[0, ] B． C． D．

【答案】C

【分析】分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.

【详解】直线l的方程为，

当时直线方程为，倾斜角

当时，直线方程化为，斜率，

因为，所以，

即，又因为，

所以

综上可得

故选：C

6．如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】D

【分析】设，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到，从而得到答案．

【详解】解：设，

则，

，

则

所以，

则与所成角为，

所以与所成角的余弦值为0．

故选：D．

7．已知在圆：上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】题意转化为圆与圆相交，即可求解.

【详解】由题意可知圆与圆相交，则，解得或.

故选：C

8．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两圆及的位置关系，将的最大转化为求最大，再应用将军饮马模型作关于轴的对称点，利用三角形的三边关系确定的最大值，进而求的最大值.

【详解】要使的最大，需尽可能大，尽可能小，

∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：

在△中最大即可，令，关于轴的对称点为，

∴最大，故共线时的最大值为，

∴的最大值为.

故选：D

二、多选题

9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．若空间向量，满足，则

B．若非零向量，满足，则有

C．若是空间的一组基底，且，则四点共面

D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

【答案】CD

【分析】结合空间向量定义可直接判断A错；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.

【详解】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；

对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；

对于C，由平面的向量示可知是空间的一组基底，则三点不共线.由，，可判断四点共面，故C正确；

对于D，若向量是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间的一组基底，故D正确.

故选：CD

10．已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角，以下说法正确的是（    ）

A．

B．的长度为

C．异面直线所成的角是60°

D．点到平面的距离

【答案】BCD

【分析】采用建系法，以的方向为轴的正方向，结合向量夹角公式可判断A错误，C正确；由空间中两点间距离公式可求，判断B正确；由点到平面距离的向量公式可判断D正确.

【详解】

以点为原点，以的方向为轴的正方向，

建立如图所示的坐标系，则，

∴，，

∴，∴，故A错误；

∵，∴，故B正确；

∵，又，

∴，∴，

所以异面直线所成的角是60°，故C正确；

设平面的法向量为，则，即，

令，得，于是，

又，所以点到平面的距离，故D正确.

故选：BCD

11．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．若点是轨迹上一点，则下列说法中正确的有(    )

A．曲线关于原点成中心对称

B．的取值范围是

C．曲线上有且仅有一点满足

D．曲线上所有的点都在圆的内部或圆上

【答案】ACD

【分析】求出轨迹的方程，由方程确定曲线的性质，再判断各项．

【详解】曲线的方程为①

若点，则满足①，于是对点关于原点的对称点有：

，

即也在曲线上，故A正确，

对于B，由得，

∴，故B错误；

对于C，若，则点在的垂直平分线上，∴，将代入①得，

∴，即仅是原点时满足，故C正确．

对于D，由化简得，

∴，∴由得

∴，故D正确．

故选：ACD．

12．正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．直线与平面所成角的余弦值为

D．点C和点G到平面的距离相等

【答案】AB

【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量逐项分析判断作答.

【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长，

则，

，则，即，直线与直线垂直，A正确；

，令平面的法向量，则，

令，得，而，，平面，而平面，则平面，B正确；

，，所以直线与平面所成角的正弦值为，C不正确；

，则点C和点G到平面的距离分别为：，，D不正确.

故选：AB

三、填空题

13．如图在一个的二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则___________.

【答案】3

【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．

【详解】，

，

，，

，，

．

，

.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．

【答案】或

【分析】画出图像，数形结合解决起来好理解.

【详解】

如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交，

设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为,

则符合要求的直线的倾斜角范围为，

,

由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系，

满足条件的直线的斜率的取值范围为或

故答案为：或

15．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________．

【答案】

【分析】求得直线与直线交点后，再求直线上一点关于直线的对称点，是本题的关键所在.

【详解】由得

即直线与直线交点为

在直线上取点

设点关于的对称点为

则即

则反射光线所在直线的方程为

故答案为：

四、双空题

16．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则的最小值为___________；当的面积最小时，直线的方程是_______________

【答案】     .     .

【分析】设为且，求出A、B的坐标，进而得到、关于的表达式，再应用基本不等式求最值，并确定等号成立的条件即可.

【详解】由题意，设直线为且，

∴，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴的最小值为.

，当且仅当时等号成立，

∴，整理得.

故答案为：，.

五、解答题

17．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.

(1)求点的坐标；

(2)求点到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；

（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.

【详解】（1）设，则，

∴，解得，

∴；

（2）∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

所以点到直线的距离为.

18．如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.

（1）证明：平面；

（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直；

（2）求出的长最小时点的位置，然后分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）因为平面，

且平面，平面平面，

所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以，

又因为平面平面，

且平面，平面平面，

所以平面.

（2）由（1）知，，

，当且仅当时等号成立，

分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取，得，

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取，得，

所以，则二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量的夹角得二面角，注意观察二面角是锐二面角还是钝二面角．

19． 已知，动点满足：

(1)求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

(2)设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)，表示圆心为，半径为的圆.

(2)存在定点使得.

【分析】（1）设，由题中等量关系得到，化简整理即可得出结果；

（2）设，结合两点间的距离公式表示出，化简整理即可求出结果.

【详解】（1）设，由，即，所以

化简可得轨迹的方程为：,

表示圆心为，半径为的圆.

（2）设则，设，

要使为定值，则，故（舍去）或；

代入（定值）,

故存在定点,使得.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

20．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．

(1)求线段的中点的轨迹方程；

(2)求曲线与的公共弦长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点坐标为，由中点坐标公式用表示出点坐标，代入圆方程可得；

（2）由两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出一个圆心到这条直线的距离，然后由勾股定理得弦长．

【详解】（1）设，，则，即，，

又在已知圆上，所以，即，

化简得．即为点的轨迹方程；

（2）由（1）知点的轨迹是圆，与已知圆方程相减得：

，即．

圆的圆心为，半径为，

到直线的距离为，

所以公共弦长为．

21．如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值；

(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）只要证明AN所在平面ANE与平面PBC平行即可；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法计算二面角的余弦值；

（3）用向量法计算直线与平面成角的正弦值，然后列方程求解．

【详解】（1）证明：取CP中点F，连接NF、BF，

因为F，N分为PC，PD的中点，

则，且，

又，且，，

所以四边形NABF是平行四边形，

，又面PBC，面PBC

所以AN∥平面PBC；

（2）取CP中点E，连接AE，

则，且，

所以四边形ABCE是平行四边形，

又，则四边形ABCE是矩形，

所以AE、AB、AP两两垂直，建系如图，

，

设平面PAD的法向量为，平面PBC的法向量为

则，，设得

平面PAD的一个法向量为，平面PBC的一个法向量为，

所以平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为．

（3）假设在线段PD上存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，

设，

所以，

由（2）知是平面PBC的法向量，

所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值是

，

解得.

22．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为.

(1)求圆O的方程；

(2)若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值；

(3)在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在定点，，理由见解析

【分析】（1）设圆O的方程为，再利用垂径定理计算可得答案；

（2）设，联立直线和圆的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算代入计算可得答案；

（3）假设存在定点Q，设，设，利用坐标计算，然后列方程求解即可.

【详解】（1）设圆O的方程为，

由垂径定理可得，则，

即圆O的方程为；

（2）设，

联立，消去得，，得

则，，

解得；

（3）假设存在定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）

由已知直线的方程为，设，

设，则，

，

则，解得，取负值和的舍去；

故存在定点，使得对圆O上任意一点P，都有.