2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.

【详解】由直线，可得，斜率为

直线的倾斜角为，则

所以，则

故选：B

2．若直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B．

C．或 D．1或

【答案】C

【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可.

【详解】直线与直线平行，

,或.

故答案为：或

3．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】A

【分析】由题可得抛物的准线方程为，由抛物线的定义可得点到准线的距离为8，设点到轴的距离为，则有，即可得答案.

【详解】解：因为抛物线的方程为，

所以，

解得，

所以准线方程为，

又因为点到焦点的距离为8，

所以点到准线的距离为8，

设点到轴的距离为，

则有，

所以.

故选：A.

4．已知圆与圆相外切，则m的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.

【详解】由圆可得，

则，所以，

所以圆的圆心为 ，半径，

圆的圆心为 ，半径，

圆与圆相外切，则

解得.

故选：A

5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆C的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意列出方程组，求得 ,即得答案.

【详解】因为椭圆C的方程为：（）,

由题意可得 ，解得 ，

故椭圆方程为：，

故选：B.

6．若双曲线C：（，）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则a的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据已知求得圆的半径和，利用点到直线的距离，垂径定理，和椭圆中之间的关系，即可求得.

【详解】由已知，所以圆心为，所以

双曲线渐近线被截得弦长为

所以圆心到渐进线的距离为，

又因为，故

所以

故选：B

7．过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，M是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法.

【详解】设，

∵    ∴M是线段AB 的中点

由中点坐标公式可得，      ①

又在椭圆上，

两式作差得，

将①式代入，可得：.

所以，直线的斜率为.

故选：B.

8．直线与曲线的交点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.

【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得，

即，解得或，故方程组的解为或.

故选：C

二、多选题

9．下列有关直线l：（）的说法中正确的是（    ）

A．直线l的斜率为 B．在x轴上的截距为

C．直线l过定点 D．直线l过定点

【答案】BD

【分析】A讨论、判断直线的斜率；B令求截距；由即可知定点判断C、D.

【详解】A：当时，直线斜率为；当时，直线为，此时斜率不存在，错误；

B：令，可得，故在x轴上的截距为，正确；

由，即直线恒过，C错误，D正确.

故选：BD

10．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（    ）

A．若C为椭圆，则，且 B．若C为双曲线，则或

C．若，则曲线C表示圆 D．若C为双曲线，则焦距为定值

【答案】ABC

【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.

【详解】A：C为椭圆，则，可得，且，正确；

B：C为双曲线，则，可得或，正确；

C：时，方程为，即曲线C表示圆，正确；

D：若C为双曲线，则，显然焦距不为定值，错误.

故选：ABC

11．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意写出反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切列式计算即可.

【详解】射这条光线所在直线方程为，则会过点，反射光线斜率与原光线斜率互为相反数，所以反射光线所在直线方程为，圆的圆心为，半径为1，与反射光线相切，即，解得或

当时，反射光线所在直线方程为；

当时，反射光线所在直线方程为；

故选:AD

12．过抛物线C：的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（    ）

A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与y轴相切

C． D．当时，直线的斜率为

【答案】ACD

【分析】设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，结合抛物线的定义及性质判断各项的正误.

【详解】由题设，由焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，设直线方程为，

所以，则，而，

所以，，故，，

因为，故当时，A正确；

以线段为直径的圆，圆心为，即，半径为，

显然该圆与抛物线准线相切，与y轴相交，B错误；

由，故C正确；

由，即，故，

所以，则，可得或，

当时，显然不合题意；当时，如图知：，，

所以直线的斜率为，根据对称性易知：也满足，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知直线：与：相交于点，则__________.

【答案】

【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果.

【详解】由题设，可得，

所以.

故答案为：

14．若直线与圆有公共点，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【分析】转化为圆心到直线的距离小于或等于半径，结合点到直线距离公式，求解即可.

【详解】由题意，圆的圆心，半径，

圆心到直线的距离，

若直线和圆有公共点，则，即，

解得：.

故答案为：.

15．已知椭圆C：（）左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线与过的直线交于A点，点A在椭圆上，且.则椭圆C的离心率__________.

【答案】##

【分析】由题设在Rt△中，，，结合椭圆定义得到齐次方程即可求离心率.

【详解】由与过的直线交于椭圆上A点，且，，

所以，而，故，，

所以，故.

故答案为：

16．已知双曲线C：的左焦点为，右焦点为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为___________.

【答案】##1.25

【分析】由已知条件求出右焦点的坐标，再由，可得点的横坐标为，再渐近线方程可求出点的纵坐标，从而可求出的面积.

【详解】因为双曲线知：右焦点为，又，

所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，

又双曲线的渐近线方程为，

所以点的纵坐标为，即的高为，

所以的面积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线：，直线：.

(1)若，求实数a的值；

(2)直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据直线垂直的判定列方程求参数；

（2）由题意，分别求x、y轴上的截距，结合三角形面积求得，代入直线即可得斜率.

【详解】（1）由知：，可得.

（2）由直线与坐标轴正半轴围成三角形，故，

令，可得；令，可得，

所以，可得，故，

故直线的斜率为.

18．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.

(1)求圆C的方程

(2)若圆C与直线l：交于A，B两点，，求m的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令圆心为，由题意得求得，且半径，即可写出圆的方程；

（2）由题意知到直线l的距离为，利用点线距离公式列方程求参数m.

【详解】（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故，即，

所以，且半径，故圆C的方程为.

（2）由（1）及题意，如下图示：，，故到直线l的距离为，

所以，可得.

19．已知平面上两点，，的周长为18.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)当动点P满足时，求点P的纵坐标.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程.

（2）设，根据可得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.

【详解】（1）因为的周长为18，故，

由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，

而半焦距，故，

故方程为：.

（2）设，则，，

因为，故，所以，

而，解得，

故点P的纵坐标为.

20．抛物线C：，抛物线C的准线方程为，焦点为F.

(1)求实数的值；

(2)直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，求证：A，B两点的纵坐标乘积为定值

【答案】(1);

(2)证明见详解.

【分析】（1）利用抛物线的准线方程公式，即得解；

（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理，即可证明.

【详解】（1）由题意，抛物线C的准线方程为，即，解得.

（2）

直线l与抛物线有两个交点，故斜率存在，焦点

不妨设直线，抛物线方程：，

不妨设，

联立，可得，，

由韦达定理，故，

即A，B两点的纵坐标乘积为定值.

21．双曲线C：的右焦点为，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点.

(1)求；

(2)求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据焦点坐标和斜率写出直线方程，联立直线与双曲线，结合弦长公式求解即可；

（2）求解的面积，边的高即为原点到的距离，结合点到直线距离公式，以及求解即可.

【详解】（1）

由题意，双曲线C：，，

故右焦点，直线l的倾斜角为30°，故斜率，

直线l的方程为：，

联立直线与双曲线：，可得，，

不妨设，则，

由弦长公式.

（2）由题意，求解的面积，边的高即为原点到的距离，

直线，

故，.

22．设椭圆C：（）过点，离心率为，椭圆的右顶点为A.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标

【答案】(1)

(2)证明见解析；

【分析】（1）利用待定系数法求得，从而求得椭圆C的方程；

（2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，利用韦达定理及向量数量积的坐标表示求得，从而得到直线过定点.

【详解】（1）依题意得，

，又，解得（负值舍去），

所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，

当直线的斜率不存在时，可设直线为，

代入，得，所以，

设直线交轴于点，则，

因为，故，

又，所以，则，

即，解得或(舍去)，

所以直线过定点；

当直线的斜率存在时，可设直线，，

联立，消去，得，

则，，

因为，则，即，

又因为，

所以，

即，解得或，

当时，直线过定点；

当时，直线过定点（舍去）；

所以直线直线过定点；

综上：直线直线过定点.

【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．