2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期期中热身数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期期中热身数学试题

一、单选题

1．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.

【详解】由题意设所求方程为，

因为直线经过点，

所以，即，所以所求直线为.

故选：A.

2．已知等比数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件求出公比的平方，然后利用即可求解.

【详解】解：设等比数列的公比为，

因为等比数列满足，，

所以，

所以，

故选：D.

3．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（   ）

A．11 B．9 C．5 D．3

【答案】B

【分析】由双曲线的定义运算即可得解.

【详解】由双曲线的定义得，即，

因为，所以.

故选：B.

4．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短

【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，

当与这条直径垂直时所得弦长最短，

圆心为，，

则由两点间斜率公式可得，

所以与垂直的直线斜率为，

则由点斜式可得过点的直线方程为，

化简可得，

故选：B

5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（    ）

A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺

【答案】D

【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.

【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.

故选：D

6．若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，计算出点到直线的距离，由抛物线的定义可得，利用当、、三点共线可求得的最小值.

【详解】如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，

抛物线的准线为，焦点为，

点到直线的距离为，

由抛物线的定义可知，所以，，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.

故选：A.

7．已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（    ）

A．6或7 B．7或8 C．8或9 D．9或10

【答案】B

【分析】根据题意可知等差数列是，单调递减数列，其中，由此可知，据此即可求出结果.

【详解】在等差数列中，所以，所以，即，

又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，

所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.

故选:B.

8．已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】不妨设椭圆的方程为，由题可得，进而可求，即得.

【详解】不妨设椭圆的方程为，如图，

由题可知，又，，

∴，代入椭圆方程可得，

解得，

∴，即，

∴.

故选：C.

二、多选题

9．已知圆的方程为，则（    ）

A．圆关于直线对称

B．过点有且仅有一条直线与圆相切

C．圆的面积为

D．直线被圆所截得的弦长为

【答案】ACD

【分析】对A：由圆心在直线上即可判断；对B：由点在圆外即可判断；对C：由圆的面积公式即可判断；对D：由弦长公式即可求解.

【详解】解：圆的方程为，即，圆心，半径，

对A：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故选项A正确；

对B：因为，所以点在圆外，所以过点有且仅有2条直线与圆相切，故选项B错误；

对C：因为圆的半径为2，所以圆的面积为，故选项C正确；

对D：因为圆心到直线的距离，

所以直线被圆所截得的弦长为，故选项D正确.

故选：ACD.

10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为2的等差数列

【答案】AB

【分析】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列的公比和通项及前项和，再逐一分析各选项即可得解.

【详解】在等比数列中，，由得或，

而公比为整数，于是得，，

，A正确；

，，即数列是等比数列，B正确；

，C错误；

，即数列是公差为1的等差数列，D错误.

故选：AB

11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离，则由题意可得，从而可求出离心率的范围

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，

则直线与直线的距离为

，

因为点是直线上任意一点，且圆与双曲线的右支没有公共点，

所以，即，

得离心率，

因为

所以双曲线的离心率的取值范围为，

故选：AB

12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…．设第层有个球，从上往下层球的总数为，记，则（    ）

A． B．

C．， D．的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据，，可得进而可判断A；求出，由并项求和可判断B；利用累加法求出，结合时可判断C；作差法计算可得的单调性，由单调性可得最大值可判断D，进而可得正确选项.

【详解】，，，，，故选项A正确；

因为，

所以，故选项B不正确；

因为，，，，，

所以，所以时，，故选项C正确；

，，

所以当时，；当时，；

当时，，所以当或时，的最大值为，故选项D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．抛物线的准线方程是______．

【答案】

【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填

14．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则___________.

【答案】1

【分析】由点P在椭圆上，可得的值，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点即可求解.

【详解】解：因为点在椭圆上，所以，解得，

所以椭圆方程为，

又椭圆与双曲线有相同的焦点，

所以，解得，

故答案为：1.

15．已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为______．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出等腰三角形两腰所在直线的交点，再求出底边上的高所在直线的斜率即可求解作答.

【详解】由解得：，因此得等腰三角形的顶点坐标为，

因原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线斜率为，

所以等腰三角形底边所在直线斜率为3，方程为.

故答案为：

四、双空题

16．设集合，，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，则___________，数列的前50项和=___________.

【答案】         

【分析】根据已知条件求得的前项的规律，由此求得以及.

【详解】数列的前项为，

，

数列的前项为，其中在中，

所以是数列的前50项中的项，

则取前项，，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知数列为等差数列，，，数列为各项均为正数的等比数列，，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，求数列的前2n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，根据，令求得公差即可；根据 ，，求得首项和公比求解.

（2）由，利用分组求和法求解.

【详解】（1）解：设数列的公差为d，数列的公比为q，

因为，

所以令得，即，

又，

所以，

因为，，

所以，

解得或（舍）

所以.

（2）由（1）得，

所以，

.

18．已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，，____________①椭圆过点，②椭圆的短轴长为，③椭圆离心率为，（①②③中选择一个）

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的面积．

【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为

(2)

【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆方程.

因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.

选①：由已知可得，则，椭圆方程为；

选②：由已知可得，则，椭圆方程为；

选③得，则，椭圆方程为.

（2）解：由椭圆定义知①，         

又，②，

由①可得，解得，

因此，.

19．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；

(1)若直线的斜率为，求的值；

(2)求线段的长度的最小值．

【答案】(1)3；

(2)12.

【分析】(1)联立直线l与抛物线C的方程，求出A和B的横坐标即可得；

(2)设直线l方程为，与抛物线C方程联立，求出线段AB长度求其最小值即可.

【详解】（1）设，

抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，

直线l的方程为，

将直线l方程与抛物线消去y可得，

点A是第一象限内的交点，

解方程得，∴.

（2）设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，

代入抛物线C的方程化简得，，

∵＞0，∴，

∴，当且仅当m＝0时取等号，

∴AB长度最小值为12.

20．圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．

(1)求圆的方程；

(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；

（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.

【详解】（1）解：因为圆与轴的交点分别为，，

所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，

又圆与直线，都相切，

所以，解得，

所以圆心，半径，

所以圆的方程为；

（2）解：假设圆上存在点满足，

则，即①，

又，即②，

联立①②可得或，

所以存在点或满足.

21．已知数列前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得，两式相减，可证明数列是以1为首项，公比为3的等比数列，由此即可求出结果；

（2）由和，即可求出，再根据错位相减法即可求出.

【详解】（1）解：由，得，

两式相减，得．

由，，得，

所以，

即数列是以1为首项，公比为3的等比数列，

从而有

（2）解：由可知：

当时，

当时，适合上式

所以

所以

所以

，

两式相减得：

所以

22．已知椭圆C：的离心率，过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P（0，1），直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为，且，问：直线l是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；定点

【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组，求解即可得答案；

（2）①当直线l的斜率存在时，设，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及求出m的值即可得定点坐标；②当直线l的斜率不存在时，设，联立即可求解.

【详解】（1）解：由已知条件可得，解得，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）解：①当直线l的斜率存在时，设，

由，得，

则，

由，得，

，

，

，

，

（舍）或，

∴直线l过定点；

②当直线l的斜率不存在时，设，

由得，

，即，解得，

所以直线l：x＝0；

综上，直线l过定点．