2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（       ）

A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)

C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)

【答案】D

【分析】利用两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在判断即可

【详解】对于ABC，所以两点的横坐标不相同，所以此两点确定的直线的斜率存在

对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.

故选：D

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可．

【详解】抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，，

准线方程是．

故选：A.

3．已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆定义即可求出答案.

【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，，

即动点轨迹方程为.

故选：D.

4．直线l过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由垂直关系得到直线l的斜率，再由直线方程的点斜式即得解

【详解】由题意，直线l与直线垂直，

故，且过点

则直线l的方程为：，即

故选：B

5．已知直线，若，则m等于（    ）

A．或1 B．或4 C．4 D．1

【答案】D

【分析】根据两直线平行的充要条件且求解即可.

【详解】解：因为，则，解得.

故选：D.

【点睛】结论点睛:

直线(不同为)，直线(不同为)，

若且；

若.

6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．

【详解】当时，，由条件知，解得；

当时，，由条件知，解得，综上知C正确．

故选：C．

7．过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】C

【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可.

【详解】将代入圆方程左边得，

左边=右边，即在圆上，

直线的斜率为，

切线的斜率为，即直线的方程为，

整理得，

直线与直线平行，，即，

直线方程为，即，

直线与的距离为，

故选：C

8．已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左､右顶点，点为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线的斜率分别为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据均值不等式计算得到答案.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则，

左焦点在直线上，取得到，故，

设，，

为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，，，

，故等号不成立，即.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．过两点的直线方程为

C．点关于直线的对称点为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】对于A，分别求得在轴和轴上的截距，从而可求三角形的面积；

对于B，当时，直线方程没意义；

对于C，利用点关于直线对称点的求法即可得解；

对于D，考虑两截距为的情况即可判断.

【详解】对于A，对于，令得，令得，

所以所求三角形的面积为，故A正确；

对于B，当时，直线方程没意义，故B错误；

对于C，点关于直线的对称点为，则，

解得，即对称点为，故C正确；

对于D，当直线在轴和轴上截距为时，直线方程为，故D错误.

故选：AC.

10．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．圆的圆心到直线的距离为2

B．直线恒过定点

C．圆与圆恰有三条公切线

D．圆与的公共弦所在直线方程为

【答案】BC

【分析】对于A，由点线距离公式即可得解；

对于B，由直线定点的求法即可求解；

对于C，由几何法证得两圆外切，由此得解；

对于D，由代数法求得两圆公共弦所在直线方程，由此得解.

【详解】对于A，由圆得圆心，所以圆心到直线的距离为，故A错误；

对于B，因为直线，令，则，所以该直线恒过定点，故B正确；

对于C，由圆得，故，；

由圆得，故，；

所以，故圆与圆外切，恰有三条公切线，故C正确；

对于D，由减，得，即，故两圆的公共弦所在直线方程为，故D错误.

故选：BC.

11．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．存在点满足

C．直线与直线的斜率之积为

D．若△的面积为，则点的横坐标为

【答案】CD

【分析】由椭圆方程有，A由椭圆定义即可知正误；B由当在椭圆上下顶点时最大，求出对应即可确定是否存在；C令，即有，由点在椭圆上即可确定是否为定值；D由三角形面积可确定P点纵坐标，代入椭圆即可求其横坐标.

【详解】由椭圆方程知：，

A：，错误；

B：当在椭圆上下顶点时，，即最大值小于，错误；

C：若，则，，有，而，所以，即有，正确；

D：若，△的面积为，即，故，代入椭圆方程得，正确；

故选：CD.

12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A．平分

B．

C．延长交直线于点，则三点共线

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；

对于B，直接代入即可得到；

对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；

对于D，由选项A可知.

【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，

所以，故直线为，即，

依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，

对于A，，，故，所以，

又因为轴，轴，所以，故，

所以，则平分，故A正确；

对于B，因为，故，故B错误；

对于C，易得的方程为，联立，故，

又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；

对于D，由选项A知，故D正确.

故选：ACD.

.

三、填空题

13．已知点，过两点直线的倾斜角为__________.

【答案】

【分析】根据两点求出斜率，从而求出倾斜角.

【详解】由点，所以，因为

所以.

故答案为：

14．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为___________.

【答案】0或4

【详解】圆心到直线的距离为：，

结合弦长公式有：，

求解关于实数的方程可得：或.

点睛：圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝ |x1－x2|

15．已知双曲线的左､右焦点分别为为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为__________.

【答案】

【分析】由题意得，再根据等腰三角形得角的大小，即可求出答案.

【详解】由题意知,,,

故答案为：.

16．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．

【详解】由已知得，故，∵的面积为，

∴，∴，又，

∴，，∴，

又，∴，

∴.

即的取值范围为.

故答案为

【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．

四、解答题

17．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为.

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

【答案】(1)3x＋4y－14＝0

(2)3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0

【分析】（1）由点斜式直接求解即可；

（2）由题可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，再利用点到直线的距离的公式即得.

【详解】（1）由直线的点斜式方程得，

整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0.

（2）∵直线m与l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，∴，

即|14＋c|＝15.

∴c＝1或c＝－29.

故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.

18．已知两地相距800米，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒，设声速为340米/秒.

(1)爆炸点在什么曲线上？

(2)求这条曲线的方程.

【答案】(1)爆破点在以A､B为焦点且距B较近的双曲线的一支上

(2)

【分析】（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线.

（2）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程.

【详解】（1）设M为爆炸点，由题意得，则，

因此爆炸点离A点比离B点的距离更远，

所以爆破点在以A､B为焦点且距B较近的双曲线的一支上.

（2）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.

设为曲线上任一点，

由，得2a=680，即a=340,，

由，得2c=800，即c=400，

所以

因为，所以.

因此，所以曲线方程为.

19．已知圆经过点，与轴正半轴交于点.

(1)求的值；

(2)圆上是否存在点，使得的面积为15？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）直接由已知条件可得r；

（2）由（1）可得圆的方程，依题意，，，求出，直线的方程为，又由的面积，可得点到直线的距离，设点，解得或（显然此时点不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．

【详解】（1）因为圆经过点，所以，解得.

（2）存在，因为r=5，所以圆O的方程为x2+y2=25，依题意，得A（0，5），B（5，0），

所以，直线AB的方程为，

又因为△PAB的面积为15，

所以点P到直线AB的距离为，设点，

所以点P到直线AB的距离为，

解得或，

圆O到的距离为大于，此时点P不在圆上，故舍去

建立方程组解得或

所以存在点或满足题意.

20．已知双曲线的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．

【答案】（1）＝1（2）

【详解】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3 ＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，

∴点A的坐标为，代入双曲线方程得

＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，

∴3 4－8 2＋4＝0，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，

∴双曲线的离心率为.

21．已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.

若，求的值；

点，若，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.

由，可得，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得，即可求得直线的方程.

【详解】（1）由题意，可得，设，

联立方程组，整理得，

则，，

又由.

（2）由题意，知，，，

由，可得

又，，则，

整理得，解得，

所以直线的方程为.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

22．设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于，）两点，设，在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据椭圆过定点及其离心率，求参数a、b、c，写出椭圆方程；

（2）由题意可设，，设、，联立直线与椭圆方程得、，进而求、的坐标，结合直线过椭圆的左焦点，列方程即可求的值．

【详解】（1）由题意，，解得，则椭圆的方程为；

（2）由题意，，则，，

设，由，得，有，，即，

设，由，得，有，，即，

∵直线过椭圆的左焦点，

∴由 知：，整理得：，又，

∴，即，故.

【点睛】关键点点睛：

（1）根据椭圆的离心率、所过的定点坐标求参数，写出椭圆方程；

（2）由直线与椭圆的位置关系，设直线方程及其交点坐标，联立椭圆方程，结合根与系数关系求坐标，根据已知条件列方程求的值.