2022-2023学年吉林省辽源市第五中学校高二上学期期中考试数学试题

辽源五中2022-2023学年高二上学期期中考试数学学科试卷

一、单选题（每题5分）

1.   已知直线l：的倾斜角为，则（    ）

A． B．1 C． D．－1

2．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．过点的直线与圆交于两点，当弦长最短时，直线的方程为（    ）

A．B．C． D．

4．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论：

①；②；③；④．

其中必定成立的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则2a6等于（    ）

A．30 B．40 C．60 D．80

7．已知数列的通项公式为，则数列为（    ）

A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性

8．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分）

9．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的半径为4B．圆关于直线对称

C．圆上的点到直线的最小距离为1D．圆与圆恰有三条公切线

10．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）

A．B．C．(为常数)D．

11．已知双曲线，则（    ）

A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为

D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为

12．如图所示的“花生壳”形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线左、右顶点为A，B，，记双曲线的左、右焦点为、，则下列选项正确的是（    ）

A．双曲线部分的方程为：.

B．焦点到曲线上任一点的距离最大值为.

C．曲线围成的图形面积不超过40.

D．曲线上存在4个P点使得为直角.

三、填空题（每题5分）

13．已知数列满足，对任意的都有，则______.

14．已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为______.

15．如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是______.

16．如图所示,已知双曲线:的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是______.

四、解答题（17题10分，其他题各12分）

17．已知圆，圆.

(1)若圆与圆外切，求实数的值；

(2)设时，圆与圆相交于两点，求AB直线方程.

18．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．

(1)求抛物线的标准方程；

(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．

19.

20．已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.

(1)求p的值；

(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．

21．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为，直线过的右焦点，且交于两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．

 参考答案：

1．A2．A3．A4．B5．C6．C7．B8．D

9．BC10．BCD11．ABC12．AD

13.10    14．  15.  3   16．

17．(1)(2)

（1）

圆，即为，所以，

圆，所以，

因为两圆外切，所以，得，

化简得，所以.

（2）

时，圆，即，

将圆与圆的方程联立，得到方程组

两式相减得公共弦的方程为：，

18．(1)(3)

（1）

因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，

所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，

将点代入可得，所以，

所以抛物线的标准方程为，

（3）

设点，直线斜率为

点在抛物线上，所以

所以，即，

所以直线方程为

经检验，直线符合题意.

19.（1）=2n+1，（2）略

20．(1)

设，有，而点，则，

因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有，

所以p的值是2.

(2)

由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴，

因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有，则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0，

设点，直线的斜率，直线的斜率，

因此有，整理得：，

所以直线的斜率是定值.

21．（1） （2）

【详解】(1)由题意得所以椭圆C1的方程为

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离

所以

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，

故.所以

设△ABD的面积为S，则，

所以，

当且仅当时取等号．所以所求直线l1的方程为

22．(1)；

(2)证明见解析.

【详解】（1）因为长轴长，所以，

因为椭圆经过点，所以，

又，所以.

整理得，解得或 (舍).

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，，，.

当的斜率不存在时为，若在轴上方，则，，

所以，，联立得，同理，若在轴下方得，

与均在直线上.

当的斜率存在时，设为，，.

由，得，

显然，则，.

又，，消去，

可得

，

所以点在直线上 .

综上，点在定直线上.