2022-2023学年江苏省连云港市东海县高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市东海县高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省连云港市东海县高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可得到结果.【详解】因为直线，即所以，且 所以故选:D.2．己知三点，且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得.故选：A3．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为，双曲线的焦点坐标为，又短轴长为2，故，解得：，则，故椭圆方程为.故选：C4．圆与圆的位置关系为（    ）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】B【分析】求出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，由圆心距与半径之间的关系即可判断【详解】由题意，，圆心为，半径，，圆心为，半径，由，可知，两圆的位置关系为相交.故选：B5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用两直线平行的规则求出k，再在两条直线中的任意一条直线上选取任意一点，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】由于两直线平行，对于直线 ，斜率为 ， ，即直线 的方程为 ，在其上取一点 ，则该点到直线 的距离为 ； 故选：C.6．己知点和点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点，根据题意可得，列出方程，化简即可得到结果.【详解】设点，由题意可得，即，化简可得即点的轨迹方程为，故选:D7．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出其余两个顶点坐标，然后由抛物线定义求其边长【详解】依题意，抛物线的焦点，设正三角形另外两个顶点为，由得：，整理得，因此有，而，即有，于是得点关于y轴对称，如图，等边三角形中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角是，所以点分别在上，由，解得，根据抛物线的定义得其边长为．故选：A8．已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨设，设，表示出，，依题意可得有解，根据数量积的坐标表示得到方程在上有解，根据得到关于的不等式，解得即可.【详解】解：依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，设，则，，，则，若存在点使得，则存在点使得，即在上有解，即在上有解，令，显然，，所以，即且，由，即，解得或，由，即，解得或，又，所以，即.故选：B 二、多选题9．己知双曲线，则（    ）A．双曲线C的虚轴长为 B．双曲线C的实轴长为2C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为【答案】BC【分析】由双曲线的标准方程得到，再对选项逐一判断即可.【详解】由双曲线，可得，则所以即实轴长为，虚轴长为，离心率渐近线方程为，即故选:BC.10．已知的三个顶点为，则（    ）A．为直角三角形 B．的面积为3C．边上的中线所在直线方程为 D．的外接圆方程为【答案】ABD【分析】求出，，即可判断A，再求出，，求出即可判断B，求出、的中点的坐标，再求出，由点斜式求出直线方程，即可判断C，由圆心为、的中点，直径为，即可求出圆的方程，从而判断D.【详解】解：因为，，，所以，，所以，即，所以，所以为直角三角形，故A正确；又，，所以，故B正确；因为、的中点为，所以，所以直线的方程为，整理得，即边上的中线所在直线方程为，故C错误；因为为直角三角形，所以外接圆的直径为，圆心为、的中点，又，所以外接圆的方程为，即，故D正确；故选：ABD11．已知曲线，则下列判断正确的是（    ）A．若，则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线【答案】BC【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可【详解】若时，转化为，半径为，故A错误；若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，故B正确；若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.故选：BC12．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设A，B是抛物线上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点．若弦AB过，则下列说法正确的有（    ）A．点P在直线上 B．C． D．面积的最小值为8【答案】ABC【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误.【详解】对于A，由直线过点，且与抛物线交于两点，则可设直线，将代入，整理可得，设，则，由抛物线，整理可得函数，则，过点的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为，联立可得，解得，则，故点在定直线上，故A正确；对于B，由A可知：直线，直线，由，则，故B正确；对于C，由A可知，则直线的斜率，由，则，故C正确；对于D，由C可得：，，，则，当时，取得最小值为，故D错误；故选：ABC. 三、填空题13．圆的半径为____________．【答案】【分析】将圆的一般式方程化为标准式，即可得到半径.【详解】因为圆，即即故答案为:.14．若点和点关于直线对称，则____________．【答案】【分析】依题意可得、的中点在直线上且与直线垂直，即可得到关于、的方程组，解得即可.【详解】解：因为点和点关于直线对称，所以、的中点在直线上，且与直线垂直，即，解得，所以.故答案为：15．设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若双曲线的离心率为，则______．【答案】【分析】设，由双曲线的离心率得到，再由点在双曲线上得到，最后根据斜率公式计算可得.【详解】解：依题意可得，，设，则，所以，即，又双曲线的离心率为，即，所以，所以，，所以.故答案为：16．圆的一条切线l，与抛物线相交于A，B两点，与x轴相交于点M．若，则切线l的斜率____________．【答案】【分析】设，根据，得到关系，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，即可得到的关系，然后再根据直线与圆相切，列出方程即可求得结果.【详解】设，显然直线的斜率存在且不为0则直线方程为因为因为，则，即联立消去，化简可得由韦达定理可得且，所以所以即直线方程为且直线与圆相切，则令，则，解得或（舍）即故答案为: 四、解答题17．已知三条直线，和．(1)若，求实数的值；(2)若三条直线相交于一点，求实数的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到，解得即可；（2）首先求出与的交点，将交点坐标代入直线中，计算可得.【详解】（1）解：因为，且，所以，解得.（2）解：由， 解得，即与的交点为，因为三条直线相交于一点，所以点在上，所以，解得.18．从下面两个条件中任选一个，补充在问题中并进行求解．①与直线相切，②被直线截得的弦长为．问题：已知圆经过点和，且____________，求圆的方程．注：如果选择多个条件进行解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】首先圆心一定落在中垂线上，若圆与直线相切，则圆心到的距离等于半径，若圆被直线截得的弦长为，结合圆心的坐标，利用垂径定理列方程求解..【详解】先求中垂线，，的中点是，由，设中垂线的斜率为，故，则，故中垂线方程为，即，由于圆经过，则圆心一定落在中垂线上，设圆心.若选①，当若圆与直线相切，等价于则圆心到的距离等于半径，即，整理可得，故或，当时，圆心为，半径为，故圆的标准方程为：，当时，圆心为，半径为，故圆的标准方程为：；若选②，如图所示，设和圆交于两点，过作，垂足为，根据垂径定理，，又，，由勾股定理可得：，整理得，故，此时圆心为，半径为，故圆的标准方程为：.19．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．(1)求曲线的方程；(2)设点，点为曲线上任一点，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）在曲线上任取一个动点，即可得到在圆上，代入圆的方程，整理可得；（2）设，根据两点间的距离公式表示出，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.【详解】（1）解：在曲线上任取一个动点，则在圆上，所以，即，所以曲线的方程为.（2）解：设，则，所以当时，所以，即的最大值为.20．已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线经过点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，且（为坐标原点）的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质设双曲线方程为，将点的坐标代入求出，即可求出双曲线方程；（2）设直线的方程为，，，求出原点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程，消去、列出韦达定理，即可表示出弦，再由得到方程，求出的值，即可得解.【详解】（1）解：依题意设双曲线方程为，则，所以，所以双曲线的方程为.（2）解：设直线的方程为，，，所以坐标原点到直线的距离，由，消去整理得，由，解得或，所以，，所以，所以所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，当时，符合题意，所以直线的方程为.21．在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足．(1)当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积；(2)探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)16；(2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，求出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再结合对称性求解作答.（2）设出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，再求出点B的坐标，设出点P的坐标，借助斜率求解作答.【详解】（1）因AB垂直x轴，由抛物线对称性知，点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限，而，则直线方程为：，由得点，从而得，，所以的面积为.（2）设直线方程为：，由得，直线方程为：，由得点，同理可得点，假定在x轴上存在点P使得，设点，则直线斜率，直线斜率，由得，则有，即，整理得，显然当时，对任意不为0的实数k，恒成立，即当时，恒成立，恒成立，所以在x轴上存在点P使得成立，点.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，结合已知推理求解.22．己知圆，直线与圆O交于A，B两点．(1)求；(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长；（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点.【详解】（1）易知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以弦长.（2）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或，设，，则直线方程为，代入直线得：，故，因为，所以是的中点，得，所以，所以直线的方程为：，即，直线过点.当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即，设，联立得：，，解得或，由韦达定理得：， 所以③，④，且⑤，将代入直线得：，所以，是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：，将点的坐标代入并整理，化简得：，将①③④⑤代入上式得：，显然成立.综上可得：直线过定点.【点睛】(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．