2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期初检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期初检测数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】用复数运算法则及复数几何意义求解即可.

【详解】解：复数，其在复平面内对应点的坐标为：，

故复数在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

2．已知实数，则实数的大小是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】判断a、b、c与0、1的大小关系进行大小比较.

【详解】因为

所以.

故选：B

【点睛】指、对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

3．某5个数据的均值为10，方差为2，若去掉其中一个数据10后，剩下4个数据的均值为，方差为，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】设原数据的均值和方差分别为，由题得，再求出再求出即得解.

【详解】设原数据的均值和方差分别为，设10是第5个数据，

所以.

由题得

由题得，

所以，

所以

故选：B．

【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．已知的内角所对的边分别为满足且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理边化角求得，由此可得，利用正弦定理可求得结果.

【详解】由得：，

，，由正弦定理得：.

故选：D.

5．为了解户籍和性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（       ）

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B．是否倾向选择生育二胎与性别无关

C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

【答案】C

【分析】利用柱形图即可直接求解．

【详解】对A，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例80%，

∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；

对B，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，

∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；

对C，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，

女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，

∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；

对D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，

城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，

∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．

故选：C．

6．已知正方体，、分别是正方形和的中心，则和所成的角的大小是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出图形，连接、、，推导出，，可得出异面直线和所成的角为，分析的形状，即可得出结果.

【详解】如下图所示，连接、、，

设正方体的棱长为，则，

所以，为等边三角形，则，

因为、分别是正方形和的中心，则、分别是、的中点，所以，，

在正方体中，且，

所以，四边形为平行四边形，则，

所以，异面直线和所成的角为.

故选：C.

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

7．已知函数在定义域上是单调增函数，则实数a的取值范围为（       ）

A．0<a<1 B．3<a<6

C．1<a≤4 D．1<a≤2

【答案】C

【分析】根据绝对值函数和对数函数的单调性进行求解即可.

【详解】∵函数在定义域上是单调增函数，

∴，解得1<a≤4，

∴实数a的取值范围为（1，4]，

故选：C．

8．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为4的正五边形有5条对角线，这些对角线相交于五点，它们组成了另一个正五边形，则的值为（       ）(参考数值：)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析正五边形的内角，进而得到，，再由数量积定义求解即可.

【详解】由正五边形的性质知，

在中，，

在中，，

故.

故选:C.

二、多选题

9．下列四个函数以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据三角函数的知识逐一判断即可.

【详解】的最小正周期为，当时，单调递减，故A满足题意；

的最小正周期为，故B不满足题意；

的最小正周期为，且在区间上单调递减，故C满足题意；

的最小正周期为，故D不满足题意；

故选：AC

10．若a>b>0，则下列几个不等式中正确的是（       ）

A． B．

C．a5>b5 D．

【答案】BCD

【分析】举例说明即可判断选项A；

根据不等式的基本性质即可判断选项B、C；

根据基本不等式的应用和对数的运算性质即可判断选项D.

【详解】对于A：当a=2，b=1时，，故A错误；

对于B：a>b>0，则，故B正确；

对于C：a>b>0，则a5>b5，故C正确；

对于D：a>b>0，则，

则，故D正确．

故选：BCD．

11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．函数是偶函数

B．函数f（x）的图象关于点对称

C．y=1与图象的所有交点的横坐标之和为

D．函数f（x）的图象可由y=cos2x的图象向右平移个单位得到

【答案】BC

【分析】根据图象通过函数的周期性求出ω，结合正弦型函数的奇偶性、对称性、图象的变换性质逐一判断即可.

【详解】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分图象，

可得A=2，，∴ω=2．

结合五点法作图，可得，∴，∴，

故，为非奇非偶函数，故A错误；

令，求得f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点对称，故B正确；

直线y=1与图象的所有交点的横坐标x满足．

由于，故满足的x值共计有4个，设它们分别为a、b、c、d．

则，

故交点的横坐标之和为，

故C正确；

把函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到的图象，故D错误，

故选：BC．

12．在棱长为2的正四面体中，点分别为棱的中点，则（       ）

A．平面

B．过点的截面的面积为

C．异面直线与所成角的大小为

D．与平面所成角的大小为

【答案】ACD

【分析】对A，由线面平行的判定定理即可判断；对B，可得四边形EFGH为边长为1的正方形，且为截面，即可判断；对C，可得即为所求，根据B选项求出即可；对D，利用垂直关系，可得即为与平面所成角，求出即可.

【详解】对A，点，为棱，的中点，，平面，平面，平面，故A正确；

对B，取AB中点H，则可得四边形EFGH为截面，由A选项可得，,同理可得，,则且，故四边形EFGH为平行四边形，取BD中点M，则可得，，则平面AMC，，则，故平行四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B错误；

对C，因为，所以异面直线与所成角即，由B选项可得，故C正确；

对D，如图，因为，平面GBC，则即为与平面所成角，易得，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行的判定，考查截面面积的计算，考查线面角的求解，解题的关键是正确理解判定定理和角的概念，正确利用正四面体的相关性质.

三、填空题

13．若，则=_____．

【答案】

【分析】由已知等式，应用二倍角余弦公式、两角差正弦公式并整理得，进而可得或，即可求，注意验证是否符合题设.

【详解】，则有，

，即，

或，平方易得或，

或，而有不合题意，故舍去.

故答案为：.

14．已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．

【答案】

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】∵x，y>0，且，

∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值是，

故答案为：

15．某学习小组有4名男生和2名女生，其中有一对是孪生兄妹，现从该小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，则这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为________．

【答案】

【分析】首先求出从该小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，这对孪生兄妹都没有被选出的概率，然后可得答案.

【详解】从该小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，这对孪生兄妹都没有被选出的概率为，

所以从该小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为，

故答案为：

16．已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为________．

【答案】

【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线平面，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可．

【详解】解：如图：连接，交于，连接，

在正四棱柱中为的中点，为的中点

所以，又平面，平面，

所以平面，

直线与平面的距离即为点到平面的距离，设为，

在三棱锥中，

在三棱锥中，，，，

故答案为：．

四、解答题

17．某校现有学生1500人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测试，得分在之间，按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图，且已知．

(1)求m、n的值；

(2)估计该校数学测试的平均分；

(3)估计该校数学分数在的人数．

【答案】(1)，

(2)76.5分

(3)375

【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；

（2）利用频率分布直方图中平均数的计算公式即可求出结果；

（3）分别计算出和的人数即可求出结果.

【详解】(1)由题意得，解得，；

(2)（分）

(3)分数在的频率是，估计该校数学分数在的人数是；同理，分数在的频率是，估计该校数学分数在的人数是．∴估计该校数学分数在的人数为．

18．已知锐角的内角所对的边分别是，在以下三个条件中任选一个：

①；②；③；

并解答以下问题：

(1)若选________（填序号），求的值；

(2)在（1）的条件下，若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，利用正弦定理角化边可配凑出余弦定理的形式求得，由此可得；若选②，利用正弦定理角化边可配凑出余弦定理的形式求得，由此可得；若选③，利用正弦定理边化角可化简等式求得，由此可得；

（2）利用三角形面积公式可求得，利用余弦定理可得到关于的方程求得，由此可得三角形周长.

【详解】(1)若选条件①：由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，又，；

若选条件②：，，

由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，又，；

若选条件③：由正弦定理得：，

，，，则.

(2)，；

由余弦定理得：，解得：，

的周长为.

19．已知函数 ．

(1)若的最小正周期 ， 求在上的单调递减区间；

(2)若 ，都有， 求的最小值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将的解析式化为，然后由最小正周期求出，然后可求出其单调性，即可得到答案；

（2）由条件可得，然后可解出答案.

【详解】(1)

因为，所以，所以，

由可得，

当时，，当时，，

所以令 得 在 上的单调递减区间为 ；

(2)由题意得， 所以，

解得，

所以的最小值为 .

20．如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，.

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）易知，，在根据，得到，利用线面垂直的判定定理证明；

（2）根据矩形所在平面与所在平面垂直，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，由平面与平面所成的锐二面角的平面角为，得到，求得BC，AB的长，然后由异面直线与所成的角为求解.

【详解】（1）由题意可知，又，则，

又，所以，且，

所以平面.

（2）如图所示：

因为矩形所在平面与所在平面垂直，

平面平面，且，

所以平面，连结，

因为直线与平面所成角的正弦值是，

所以，

因为，平面ABC，平面ABC，

所以平面ABC，设平面平面，

则，因为平面ADC，

所以平面ADC，则AD，AC，

所以平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

所以，且，可得，

所以，则，

所以，则，

而异面直线与所成的角为，

所以其余弦值为.

【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：

（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．

（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．

21．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求的零点；

(2)若函数在的最大值是11，求实数a的值；

(3)定义：区间的长度为．若在任意的长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，求实数a的最小值．

【答案】(1)零点是和

(2)a=2或

(3)4

【分析】（1）由已知可得，ax2+x+1=0的两根是-3，b，由韦达定理可得答案；

（2）对a分类讨论，利用函数的单调性，求出最大值，结合已知即可求解a的值；

（3）令x2-x1=1，由二次函数的对称性，不妨考虑的情形，分类讨论即可求解a的最小值．

【详解】(1)由已知可得，ax2+x+1=0的两根是-3，b，

所以，解得，

所以的零点是-3和．

(2)，

当a>1时，由x∈[-1，1]，知ax∈[a-1，a]，

由复合函数的单调性可知f（ax）在[-1，1]上单调递增，

所以当x=1时取得最大值，即a3+a+1=11，因为a>0，解之得a=2；

当0<a<1时，由x∈[-1，1]，知ax∈[a，a-1]，

由复合函数的单调性可知f（ax）在[-1，1]上单调递减，

所以当x=-1时取得最大值，即a-1+a-1+1=11，解得：．

综上，a=2或．

(3)令，由二次函数的对称性，不妨考虑的情形：

①若，只需，

即，解得：a≥1；

②若，只需，

又由得：，即，a≥4，

综上，a的最小值为4．

22．设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．

(1)求的值；

(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；

(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)已知的模长与夹角，根据平面向量基本定理以为基底表示,将所求式整理成只含有的向量表达式，根据向量运算法则即可求解；

(2)分析可知算式中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以按照倒序相加法求和；

(3)设出与的关系，以为基底，根据平面向量基本定理写出的表达式，化简求出最终只含参数的表达式，找出最小值情况，进而求出的长.

【详解】(1)设，，因为是边长为1的正三角形，

所以，，

因为为线段的四等分点，

所以，同理可得，

所以

．

(2)根据题意可知是线段的2022等分点，

由（1）推导过程可知，，则，

所以

所以

，

则.

(3)设，则，

所以

整理得．

当时，取最小值，此时，

则，

所以的长为．