2022-2023学年湖北省孝感市应城市第一高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省孝感市应城市第一高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．25

【答案】C

【分析】利用复数模的运算性质直接求解.

【详解】因为复数，

所以.

故选：C

2．已知向量，不共线，，，若，则（    ）

A．-12 B．-9 C．-6 D．-3

【答案】D

【分析】根据，由，利用待定系数法求解.

【详解】已知向量，不共线，且，，

因为，

所以，

则，

所以，

解得，

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．已知过定点A，则点A到直线的距离是（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】先求出直线经过的定点，再求点到直线的距离.

【详解】由题得，

所以，

解之得，

所以,

所以点A到直线的距离是.

故选：B

【点睛】方法点睛：定点问题：求直线或曲线经过的定点，常用分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.

4．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：依题意在平行四边形中，，

又是的中点，与交于点，所以，所以，

所以，

所以

故选：A

5．已知，若共面，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值.

【详解】若共面，则，

即，

所以，解得：.

故选：B

【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.

6．若，则方程．有实根的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法即可求得概率.

【详解】解：根据题意，方程有实根，

即，

由于则一共可以得到种不同情况，

其中方程有实根有，；，；，；，；，；，；，共种情况，

所以所求概率为．

故选：C

7．已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求.

【详解】由条件可知的最大值是，

，

,

所以的最大值是.

故选：A

【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：

（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为

，最大值为；

（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为.

8．如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（    ）

A．存在点，使

B．异面直线与所成的角最小值为

C．无论点在线段的什么位置，都有

D．无论点在线段的什么位置，都有平面

【答案】B

【分析】当点与点重合时，有，即可判断A选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，进而得，，在根据异面直线夹角的向量求解方法求解即可判断B选项；结合B选项讨论，证明即可判断C选项；证明平面平面，再结合面面平行到线面平行可判断D选项.

【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，所以，即，故A正确；

对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，

设，则，，

所以，，当且仅当，即点是线段中点时，等号成立，

所以异面直线与所成的角的余弦值，

所以的最小值小于，故B不正确；

对于C，结合B选项的讨论，，，则，所以，故C正确；

对于D，在正方体中，有，

因为平面，平面

所以，平面，平面，

因为，平面，

所以平面平面

因为平面，所以，故D正确.

故选：B

二、多选题

9．某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（    ）

A．周岁以上的参保人数最少

B．周岁人群参保的总费用最少

C．丁险种更受参保人青睐

D．周岁及以上的参保人数占总参保人数的

【答案】AC

【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.

【详解】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的，故A正确，D错误

由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C正确

由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，所以总费用不一定最少，故B错误．

故选：AC．

10．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．存在点A使得

C．若，则 D．OP与AB的斜率满足

【答案】BC

【分析】对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断

【详解】解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；

对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；

对于C，因为，,，所以，所以C正确；

对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，

故选：BC

11．下列说法正确的是（    ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．过点且垂直于直线的直线方程为

C．过两圆及的交点的直线的方程是

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为，

若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为，

所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；

对于B选项，直线的斜率为，

所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对；

对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

，，故两圆相交，

将两圆方程作差得，

所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对；

对于D选项，由可得，得，

所以曲线表示圆的上半圆，

直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：

当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，

则，解得；

当直线过点时，则，解得.

由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错.

故选：BC.

12．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（    ）

A．

B．存在点，使平面

C．存在点，使直线与所成的角为

D．点到平面与平面的距离和为定值

【答案】ABD

【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断ACD，根据线面平行的判定定理判断B

【详解】

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），

设，

则，

由M是棱SD上的动点，设，

，

，

，故A正确；

当为的中点时，是的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面，故B正确；

，

若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，

则，

化简得，方程无解，故C错误；

点M到平面ABCD的距离，

点M与平面SAB的距离，

所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题

13．已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________.

【答案】2π

【解析】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，利用勾股定理可以求出r、 l之间的关系，最后结合圆柱的侧面积公式和基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.

【详解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝，0<r<1.圆柱的侧面积为S＝2πrl＝2πr＝4π≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取“＝”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.

故答案为：2π

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

14．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．

【答案】##

【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.

【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.

同理，丙购买不到冰墩墩的概率.

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，

于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.

故答案为：.

15．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为__________．

【答案】

【分析】化简，得到和的标准方程，根据数形结合，得到当时，面积的最大，进而计算可求解.

【详解】

圆，即，圆心为，

，即，圆心为，半径为，

，如图，明显地，当时，面积的最大，

的面积的最大值为．

故答案为：

16．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为．

①轨道Ⅱ的焦距为；    ②若不变，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；

③轨道Ⅱ的长轴长为；    ④若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大．

则上述结论中正确的是：______．（填序号）

【答案】①③④

【分析】根据椭圆的性质可判断①；由可判断②；由椭圆的性质可判断③；由离心率可判断④.

【详解】①，由椭圆的性质知，，，解得，故①正确；

②，由①知，，所以，

若不变，越大，越大，轨道Ⅱ的轴长越小错误，故②错误；

③，由①知，故轨道Ⅱ的长轴长为，故③正确；

④，因为，

若不变，越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故④止确．

故答案为：①③④．

四、解答题

17．已知非零向量满足，且．

（1）求与的夹角；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）1．

【分析】（1）由向量垂直转化为数量积为0求得，再由数量积的定义求得夹角；

（2）把已知等式平方，模的平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算可得．

【详解】（1），

与的夹角为，

（2），即，

，又由（1）知

18．已知圆过点，且圆心在直线，圆．

(1)求圆的标准方程；

(2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

【答案】(1)

(2)直线方程为，公共弦长为

【分析】（1）根据题意求出圆心和半径，即可写成圆的方程；

（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由圆心到直线的距离和半径，利用勾股定理求出公共弦长．

【详解】（1）由题意可设圆心，

则，

解得，

此时圆的半径为，

所以圆的标准方程为：；

（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即，

化简得，

所以圆的圆心到直线的距离为，

则，

解得，

所以所求公共弦长为．

所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，公共弦长为

19．如图，在三棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由，即可得到平面，从而得证；

（2）取的中点，连接，即可得到⊥平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；

【详解】（1）证明：因为，，，所以，所以，又，平面，，∴平面，又平面，

∴平面⊥平面；

（2）解：取的中点，连接，因为，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，以的中点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，显然为平面的法向量，

设是平面的法向量，则，即，

令，得，所以，显然二面角为锐二面角，故所求二面角的平面角为.

20．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；

(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．

【答案】(1)分；

(2)分；

(3).

【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；

利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；

利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.

【详解】（1）解：由，

得.

数学成绩在：

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，

样本平均值为：，

可以估计样本数据中数学成绩均值为分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．

（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，

在分以下所占比例为

因此，第百分位数一定位于内，由，

可以估计样本数据的第百分位数约为分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.

（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，

分数段的人数为 (人)．

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，

设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，

则样本空间共包含个样本点

而的对立事件包含个样本点

所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．

21．如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，．

Ⅰ求证：平面BDE；

Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离；

Ⅲ求二面角的大小．

【答案】Ⅰ见解析；Ⅱ；Ⅲ

【分析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE．

Ⅱ求出0，，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离．

Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．

【详解】Ⅰ在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，

M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，

．

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

0，，0，，4，，

2，，0，，0，，

2，，

2，，0，，

2，，

设平面BDE的法向量y，，

则，取，得0，，

，平面BDE，

平面BDE．

Ⅱ，0，，

直线MN到平面BDE的距离：

．

Ⅲ平面BDE的法向量0，，

平面DEP的法向量0，，

设二面角的大小为，

则．

．

二面角的大小为．

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

22．已知点是离心率为的椭圆：上的一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

【答案】(1)；

(2)是，

(3)最大值为，

【分析】（1）根据和过点可求结果；

（2）设，所以，，从而得到．

（3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．

【详解】（1），，

将代入椭圆方程得，

所以椭圆方程为；

（2）依题意得在椭圆上，

直线和的斜率都存在且不为，

设，所以，

，

，

所以直线和的斜率之积为定值；

（3）设直线的方程为，，

由消去，整理得，

，则，

则，

，

点到直线的距离为，

，

当，即时面积最大，且最大值为，

此时直线的方程为．