2022-2023学年江苏省常州市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线经过坐标原点O，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线方程确定的倾斜角，进而可知直线的倾斜角，结合题意写出的方程.

【详解】由题设，若直线的倾斜角为，则，∴.

∴直线的倾斜角为，则斜率，又直线经过原点，

∴的方程为.

故选：C.

2．圆心为，半径为的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程公式直接写出结果即可.

【详解】由圆的标准方程公式得圆的方程为：.

故选：B

3．椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆方程确定则可求椭圆的离心率.

【详解】解：由椭圆，得，所以

所以离心率.

故选：A.

4．抛物线的焦点坐标是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】根据抛物线的标准方程为画出图像可得准线方程为：故焦点坐标为.

故答案为B．

5．若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的离心率计算公式，结合渐近线方程，可得答案.

【详解】由，则离心率，解得，

即渐近线方程为，代入可得，整理可得.

故选：D.

6．圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式.

【详解】变形为，圆心为，

变形为，圆心为，

公共弦AB的垂直平分线即为直线，

即，整理得.

故选：D

7．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，再利用直线的斜率公式即可求解.

【详解】由，得，

所以直线l的方程恒过定点.

因为，，

所以，.

由题意可知，作出图形如图所示

由图象可知，或，解得或，

所以实数m的取值范围为.

故选：D.

8．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．12

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.

【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示

因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则,

所以为等腰三角形，且,解得，

在中，,即即，解得，所以到轴的距离为.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．直线在y轴上的截距是2

B．直线经过第一、二、三象限

C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为

D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。

【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.

对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.

故选：BC

10．已知双曲线C：，则（    ）

A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的虚轴长为

C．双曲线C的焦点坐标为 D．双曲线C的渐近线方程为

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程求解出，由双曲线的性质逐一判断.

【详解】由双曲线的方程，得，

则，所以离心率为，A正确；

虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；

渐近线方程为，D正确.

故选：ACD

11．已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（    ）

A．直线l与圆C相交

B．的最小值为

C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个

D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2

【答案】BC

【分析】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.

对于A：利用几何法判断直线l与圆C相离；对于B：利用几何法求出的最小值；对于C：利用几何法判断出圆上有2个点到直线的距离为1；对于D：先判断出要使切线长最小，只需最小，即可求解.

【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.

对于A：因为，所以直线l与圆C相离.故A错误；

对于B：由圆的几何性质可知：（此时，P在之间）.

对于C：设m：到直线l：的距离为1.

则，所以.

当时，直线m1：，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则.此时到直线m1与圆C相离，没有交点；

当时，直线m2：，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则.此时到直线m1与圆C相交，有2个交点，即圆上有2个点到直线的距离为1.故C正确；

对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则.

所以切线长.

要使切线长最小，只需最小，即时，.

所以切线长的最小值为1.故D错误.

故选：BC

12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ）

A．当时，

B．的取值范围为

C．的面积的最大值为

D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形

【答案】BCD

【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D．

【详解】在椭圆中，，且，

对于A，在中，由余弦定理可得，

即①，

又，即②

由②－①解得8，

∴的面积为，故A错误；

对于B，设点，则，

，

，

∵，，∴，

∴的取值范围为，故B正确；

对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确；

对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角；

当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形；

当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形．

所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．过两点和的直线的一般式方程为________．

【答案】

【分析】根据直线过两点，求得直线斜率，则可得直线方程，转化为直线的一般式方程即可.

【详解】解：过两点和的直线斜率

则直线方程为：，即直线的一般式方程为.

故答案为：.

14．直线：与直线：之间的距离为________．

【答案】

【分析】根据直线方程可得，由平行线之间的距离公式求解即可.

【详解】解：直线：与直线：，则

又直线：，直线与之间的距离为：.

故答案为：.

15．试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据双曲线的焦点写出双曲线的方程即可.

【详解】解：双曲线为，

，

则焦点坐标为，

故以为焦点的双曲线的标准方程可以为.

故答案为：.

16．已知直线l：与x轴交于点A，直线与y轴及直线l分别交于点B和点C，O为平面直角坐标系xOy的原点．若A，B，C，O四点在同一个圆上，则点C的坐标为________．

【答案】

【分析】根据四点共圆的条件，可得两条直线垂直，求后，再求两条直线的交点.

【详解】如图，若A，B，C，O四点在同一个圆上，则对角和互补，则，即直线和直线垂直，即，得，

联立，解得：，即.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线：，：．

(1)若，求a的值；

(2)若，求a的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用直线的一般式方程及两直线平行的条件即可求解；

（2）利用直线的一般式方程及两直线垂直的条件即可求解.

【详解】（1）因为直线：，：，有，

所以，即．

解得或，

当时，：，：，所以，符合题意；

当时，：，：，所以，符合题意；

综上，a的值为或．

（2）因为，所以．解得.

所以a的值为．

18．已知圆C：，过点且倾斜角为的直线与圆交于，两点．

(1)当时，求的长；

(2)当点为线段中点时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，得直线斜率，又由直线与圆相交弦长公式即可得的长；

（2）点为中点时，则，则可得斜率关系，从而可得直线的斜率，又点在直线上，即可得得直线的方程．

【详解】（1）解：当时，则．

此时直线方程为：，即．

故圆心到直线AB的距离．

又，所以．

（2）解：点为中点时，则，所以，

其中，所以．

所以直线方程为，即．

19．已知圆经过、、三点．

(1)求圆的方程；

(2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆的方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程；

（2）分析可知圆心直线上，求出直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，以及圆的半径，进而可得出圆的方程.

【详解】（1）解：设圆的方程为．

将、、三点坐标代入圆的方程可得，解得.

所以圆的方程为，即．

（2）解：因为圆与圆外切于点，所以圆心直线上，圆心的坐标为，

直线的斜率为，

所以直线的方程为，即．

又点在直线上，联立，解得，即点，

所以，圆的半径为，

所以圆的方程为．

20．已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离．

(1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程；

(2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值．

【答案】(1)抛物线，

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案.

（2）结合抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案.

【详解】（1）因为动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离，

所以点P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线．

又因为点，直线l：，则抛物线开口向右，且焦点F到准线l的距离为4，

所以轨迹C的方程为．

（2）动点P到y轴的距离等于到焦点的距离“减”，

所以动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值为：

到直线，即的距离“减”，

即.

21．已知双曲线C：（）的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)双曲线C的左支与x轴交于点A，经过点F的直线与C交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程组，求得的值，即可得出双曲线的方程．

（2）对直线PQ的斜率分类讨论：①直线PQ的斜率为0时，；②直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，与双曲线的方程联立化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得的值．

【详解】（1）由题意可知，解得

所以双曲线C的标准方程为．

（2）①直线PQ斜率为0时，．

②直线PQ斜率不为0时，设直线PQ方程为，，，

联立方程，消去x并整理得，

因为直线与C交于两点，故，此时，

所以，．

而，．

又有，，

所以．

综上可得，．

22．在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)·

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）由题意可得，解得的值，即可得椭圆方程；

（2）若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，设直线的方程为，与椭圆方程联立求解可得点的坐标，从而可得点的坐标，由，可得点的坐标为，因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据斜率计算公式列方程求解，即可判断是否存在点．

【详解】（1）解：由题意可知，得

椭圆C的标准方程为．

（2）解：若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，由题意可得直线和直线的斜率均存在．

设直线的方程为，

由方程组消去可得，

解得或．

则点的坐标为．

因为为线段的中点，点的坐标为，

所以点的坐标为．

由，可得点的坐标为，

所以直线的斜率为．

因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，

所以，整理得，方程无解．

所以，不存在满足题意的点．