2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；

【详解】抛物线的方程化成标准形式，

准线方程为，

故选：A.

2．已知直线l过点与点，则l的倾斜角α为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜率公式计算斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】由题知直线的斜率，又， ，所以l的倾斜角，

故选：B．

3．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【分析】注意到，即可做出正确判断.注意准确掌握椭圆定义，此题易错误判定为椭圆.

【详解】因为，故动点的轨迹是线段.

故选：C.

4．在等差数列中，已知，公差，，则等于（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解.

【详解】由数列为等差数列，且，公差，，

可得，解得.

故选：D.

5．已知圆，圆， 则两圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．内含 D．相切

【答案】B

【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.

【详解】由题设，：，：，

∴，半径；，半径；

∴，即两圆相交.

故选：B

6．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.

【详解】当时，有，即；当时，有，

又，即，综上，有，

故选：C．

7．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（    ）

A．15 B．12 C．6 D．3

【答案】B

【分析】由三角形面积公式可知△的底为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.

【详解】由三角形面积公式可知，

当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，

其中，

则△面积的最大值是，

故选：.

8．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ）

A．16 B．128 C．32 D．64

【答案】D

【分析】先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．

【详解】，

当时，．

故选：D．

二、多选题

9．定义直线l与y轴交点的纵坐标叫直线的纵截距，直线l与x轴交点的横坐标叫直线的横截距.若直线ax＋by＋1＝0的纵截距的绝对值等于横截距的绝对值，则此直线的斜率可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BD

【分析】结合题意求得直线ax＋by＋1＝0的斜率及与x轴，与y轴的交点坐标，得到，从而求得斜率.

【详解】由题意知：直线ax＋by＋1＝0与y轴，与x轴都相交，

所以且，所以直线ax＋by＋1＝0的斜率为

又直线ax＋by＋1＝0与x轴交点为，

与y轴交点为，

若纵截距的绝对值等于横截距的绝对值，则，

即，则，所以斜率为，

故选：BD.

10．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.

【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.

故选：BC.

【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

11．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为2的等差数列

【答案】AC

【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式，结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可.

【详解】∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，

解得，，∴，或者，，∴，不符合题意，舍去，故A正确，

，则，

常数，

∴数列不是等比数列，故B不正确；

，故C正确；

∵，∴，，

∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误，

故选：AC

12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则的方程为

【答案】BCD

【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.

【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；

由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；

因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．

因为，所以，又，所以，即，

所以，所以，

所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据双曲线的标准方程可得，解不等式即可求解.

【详解】焦点在轴上，则，解得.

所以的取值范围为

故答案为：

14．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．

【答案】

【详解】【解析】两条平行直线间的距离．

分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．

解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．

故答案为．

15．数列满足，对任意的 都有，则_____________ ．

【答案】

【分析】根据题意可得，利用累加法可得，解得，再裂项相消即可得解.

【详解】由可得，

所以：

，

由解得，

所以，

所以.

故答案为：.

16．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.

【详解】由，解得

根据二次函数的性质得出，即

曲线可化为，

所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆

因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示

当直线运动到时，过，代入得：

当直线运动到时，此时与曲线相切

则，解得或（舍）

要使得直线与曲线有公共点，则

故答案为：

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

四、解答题

17．已知双曲线C： (，)的离心率为．

（1）若双曲线C的焦距长为，求双曲线C的方程：

（2）若点为双曲线C上一点，求双曲线C的方程，

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）离心率，又，结合可求得得方程；

（2）由，把坐标代入双曲线方程得，结合可求得得方程．

【详解】由 得，．

（1） ，，，，

双曲线C的方程为．

（2）由题知C：，又点在C上，

，解得，，

双曲线C的方程为．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题关键是找到关于的两个等式，再结合结合就可求得，得双曲线方程．

18．已知数列为等差数列，前n项和记为，，．

(1)求；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，进而得通项，

（2）根据等差数列的性质，找到正负项的分界线，即可求解最值.

【详解】（1）设数列的公差为d，由，，得

解得，，∴．

（2）数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令即

解得，

∴，即第1项到第12项都是负的，从第13项起变成正的，

∴时，最小，最小值为

19．已知直线与直线，.

(1)若，求a的值；

(2)判断直线与圆的位置关系；

(3)若直线与圆心为D的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.

【答案】(1)

(2)直线与圆C相切或相交

(3)

【分析】（1）根据两直线互相垂直的充要条件即可求解；

（2）求出直线恒过的定点，再判断定点与圆的位置关系即可求解；

（3）由题意，圆心D到直线的距离是，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】（1）解：由题意，直线，直线，，

因为，所以，解得；

（2）解：由题意，直线过定点，

因为，

所以点在圆上，

所以直线与圆C有一个或两个公共点，

所以直线与圆C相切或相交；

（3）解：由题意，圆的圆心为，半径为，

因为为直角三角形，所以圆心D到直线的距离是，

即，解得，

所以a的值为.

20．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.

（1）求此抛物线的方程；

（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.

（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.

【详解】（1）由题知：抛物线的焦点

到准线的距离为，

∴抛物线的方程为

（2）设联立，

得，

则，，

，

∵以为直径的圆过原点O，

∴，∴，

即，

解得或（舍），∴

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.

21．已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由得，可得是等比数列；

（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.

【详解】（1）当时，，

当时，

即：，数列为以2为公比的等比数列

.

（2）

两式相减，得

.

【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

22．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

【答案】（1）（2）证明见解析

【分析】（1）根据面积的最大值为，可知点的位置，根据离心率，可求出，可得结果；

（2）先得到点，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，通过计算，可得结果.

【详解】（1）由，

可得，

由面积的最大值为知，

，

解得，，，

∴椭圆C的方程为

（2）联立，解得

联立得.

∵直线与椭圆C交两点，

∴.

∴，且

设直线的斜率分别为，

设，

则.

又，

，

则

∴，从而始终为等腰三角形.

【点睛】关键点点睛：设直线的斜率分别为后，分别表示出，根据根与系数的关系，计算是证明的关键，属于中档题.