2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．过、两点的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.

【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，.

故选：C.

2．数列的通项公式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】观察数列的特点，即可得到其通项公式.

【详解】根据题意数列其中，，，

，则其通项公式可以为

故选:B.

3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】由题意可得，解得.

故选：A.

4．椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ）

A．5 B．3 C．5或3 D．8

【答案】C

【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值．

【详解】由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，

当焦点在x轴上时，则，，即，

当焦点在y轴上时，则，，即，

m的值为5或3.

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题.

5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

【答案】D

【分析】依题意是与的等差中项，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.

【详解】由题意可知，是与的等差中项，

所以，即，

所以，或（舍），

所以，

，

故选：D.

6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由方程的要求，排除两个选项，再由矩形的周长确定正确选项．

【详解】由题意椭圆方程是方程为，排除BD，

矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．

在椭圆中，，, 不满足题意，

在椭圆中，, 满足题意．

故选：C．

7．平面直角坐标系中，已知点是直线上的点，在两坐标轴上分别有动点、且，是的中点，则长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，得出点的轨迹是以坐标原点为圆心，以1为半径的圆，将长度的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径，然后利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】因为两坐标轴上分别有动点、且，是的中点，

所以，也即点的轨迹是以坐标原点为圆心，以1为半径的圆，

其轨迹方程为，圆心到直线的距离为

，由题意可知：，

故选：B.

8．已知双曲线:的左焦点为,过的直线与圆相切于点,与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意画出草图,由为中点,,故过做构造相似三角形,根据相切找到长度,根据相似找到的长度,进而找到的长度,根据双曲线定义找到长度,在直角三角形中,用勾股定理即可找到之间的关系,再根据,即可得到离心率.

【详解】解:由题知,记右焦点为,过做如图所示,

与圆相切,

,

为中点,,

故相似于,且相似比为,

即

,

,,

在双曲线中,

有,

,

为直角三角形,

,

即,

化简可得:,

上式两边同时平方,将代入可得,

,

即离心率为.

故选:A

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限

B．方程表示圆

C．圆与圆有两条公切线

D．圆上有且只有三点到直线的距离都等于

【答案】ACD

【分析】根据直线直线经过第一、二、四象限，判断，判断A;根据二元二次方程表示圆的条件求得m范围，判断B;判断圆与圆的位置关系，即可判断C;求出圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断圆上有且只有三点到直线的距离等于1，判断D.

【详解】对于A，若直线经过第一、二、四象限，则 ，

故在第二象限，A正确；

对于B，方程表示圆，则需满足 ，

即，当时，不是圆的方程，B错误；

对于C，圆与圆的圆心距为 ，

两圆半径为 ，则，

故两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，C正确；

对于D, 圆的圆心到 的距离为，

圆的半径为2，故圆上有且只有三点到直线的距离等于，D正确；

故选：

10．已知等差数列的公差，且，前项和为，若是的最大值，则的可能值为（    ）

A．6 B．7 C．12 D．13

【答案】AB

【分析】根据得到，，然后结合二次函数的性质得到的可能取值.

【详解】因为，所以，

即，又，

所以，，

对称轴为，所以的可能值为6或7.

故选：AB.

11．设双曲线左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，下列命题正确的是（    ）

A．双曲线上存在点，使得

B．双曲线的焦点在以为直径的圆上

C．双曲线上有且仅有4个点，使得是直角三角形

D．若在双曲线上，

【答案】BD

【分析】A.根据双曲线的定义即可判断；

B,求出两个曲线的焦点，以及圆的方程，即可判断；

C.确定圆与双曲线的交点的个数，以及分别过点，且垂直于轴的直线与双曲线的交点个数，即可判断；

D.利用斜率公式以及双曲线方程，即可判断选项.

【详解】A.根据双曲线的定义可知，，不妨设，与 联立，

解出，，所以不存在点，使得，故A错误；

B. 双曲线，，，以为直径的圆，

双曲线的焦点，很显然，在圆上，故B正确；

C.以为直径的圆与双曲线有4个交点，过点且垂直于的直线与双曲线有2个交点，

过点且垂直于的直线与双曲线也有2个交点，所以双曲线上有且仅有8个点，使得是直角三角形，故C错误；

D.设，其中，，，，，

所以，故D正确.

故选：BD.

12．已知点为坐标原点，为曲线上的两点，为其焦点，下列命题正确的是（    ）

A．若直线过点，则的最小值为4

B．的最小值为3

C．若为线段的中点，则直线的斜率为4

D．若直线过点，且是与的等比中项，则=5

【答案】ABD

【分析】联立直线和抛物线方程得出的最小值，再由弦长公式判断A；由三点共线结合定义判断B；由点差法判断C；由定义结合等比中项的性质判断D.

【详解】对于A，当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设其方程为，由得，则，则，故A正确；

对于B，过点作准线的垂线，垂足为，因为，所以当三点共线时，取最小值，最小值为，故B正确；

对于C，由两式相减得，，即直线的斜率为2，故C错误；

对于D，由定义可知，由，可得，因为，则，即，，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，写出双曲线的一个标准方程为______________．

【答案】（形如的方程都对）

【分析】由双曲线的两条渐近线互相垂直可知，双曲线为等轴双曲线.

【详解】双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为，双曲线为等轴双曲线， 满足条件的双曲线的一个标准方程为.

故答案为：（形如的方程都对）

14．设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.

【答案】4

【分析】根据椭圆的方程求得c，得到，设出，，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得的值，即可求出三角形面积．

【详解】∵，；∴，因为，所以，

设，，

则①，②，

由①2﹣②得，

∴．

故答案为：4．

15．已知数列、满足，其中是等差数列，且，则 =_______．

【答案】

【分析】根据等比数列的性质即可求得.

【详解】因为是等差数列，为定值，所以是等比数列.

由已知

故答案为：

四、双空题

16．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线斜率之积是___；线段中点的纵坐标的取值范围是_______．

【答案】     1    

【分析】（1）设出切线方程，利用直线与圆相切，列出方程，根据韦达定理求出切线的斜率之积；（2）利用韦达定理求出两点的纵坐标，建立中点的坐标与之间的函数关系式，根据的取值范围确定中点纵坐标的取值范围.

【详解】因为点在抛物线上，

所以，解得，所以抛物线方程为.

由题可知，过引圆的切线斜率存在.

设切线的方程为，

则圆心到切线的距离

整理得，

设切线的方程为，

同理可得，

因此是方程的两个根，

所以，

设，

由得，

由韦达定理知，所以，

同理可得，

设中点坐标为，

则

因为，所以，

所以,所以.

故答案为；；.

五、解答题

17．已知直线.

(1)若直线过点，且，求直线的方程；

(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解；

（2）利用平行关系设直线方程，利用平行线间距离公式，求直线的方程.

【详解】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程是，即；

（2）设直线，

则平行线与之间的距离，得或，

所以直线的方程是或,

18．已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的性质求解得，即，结合与即可求得的通项公式；

（2）直接应用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）解：因为是首项为1，公差为1的等差数列

所以，则

于是当时，

当时，

则符合上式，所以.

（2）解：

则

.

19．已知圆的圆心在轴上，且经过两点

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据题意设圆的方程为，然后将两点的坐标代入方程求出，从而可得圆的方程；

（2）由题意可得圆心到直线的距离为1，然后分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（），

因为圆经过两点，

所以，解得，

所以圆的方程为；

（2）由，可得圆心，半径为2，

因为直线与圆相交于两点，且，

所以圆心到直线的距离为1，

当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线为即，则

，解得，

所以直线的方程为，即，

综上直线的方程为或.

20．已知数列的首项，且满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若，求满足条件的最大整数.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等比数列定义，结合条件确定相邻项的比值为非零常数，（2）先根据分组求和法求和，再解不等式，最后取最大值.

【详解】（1），

，

，

，

所以，数列为等比数列，首项，公比.

（2），

所以，

.

方法一

因为，

所以，，

所以，

故满足条件的最大整数.

方法二

令

，

因为，

所以，

所以数列是单调递增数列，

又因为，，

故满足条件的最大整数.

21．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点的直线与抛物线交于两点.

(1)求抛物线方程；

(2)若，且在轴的下方，在轴的上方，求的面积．

【答案】(1)

(2)6

【分析】(1)求出双曲线的右顶点，得到抛物线的焦点，即可求解抛物线方程．

(2) 两点在抛物线上，设两点的坐标，由解出坐标，可求的面积．

【详解】（1）由双曲线的右顶点为，

即可得抛物线的焦点，

所以抛物线的方程为．

（2）过点的直线与抛物线交于两点，设，，

由，有，即 ，

由 ，解得，有，，

直线的斜率，则直线的方程为，直线与轴相交于点，

所以的面积

22．已知椭圆的焦距为，且经过点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点(不与短轴端点重合)满足，直线分别交椭圆于两点，求证：直线过定点.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由由焦距为得，代入点得方程，结合即可求解；

（2）由得，设直线：，联立椭圆方程，结合韦达定理可化简整理得m、n的关系式，即可由的关系，进一步讨论过定点问题.

【详解】（1）由焦距为得，则，故代入点得，，故椭圆的标准方程为；

（2）证明：由题意可知AB斜率不为0，可设直线AB方程为，，

联立，由得①，②，③.

直线PA：，则有，同理有.

由得，代入②③整理得，

若，则直线AB：过点P，不合题意；

若，则直线AB：，此时直线AB过定点，得证.

【点睛】关键点点睛：

（1）椭圆短轴上有两点满足等价于，基于方程为纵坐标关系，可设直线AB方程为，联立椭圆方程，

结合韦达定理可将化简整理得到只关于m、n的方程，即可求出m、n的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；

（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.