2022-2023学年江西省赣州市赣县第三中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省赣州市赣县第三中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数除法运算和复数几何意义可求得对应点的坐标，由此可得结果.

【详解】，对应的点为，位于第三象限.

故选：C.

2．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（    ）

A．－4 B．20

C．0 D．24

【答案】A

【解析】由垂直求出，垂足坐标代入已知直线方程求得，然后再把垂僄代入另一直线方程可得，从而得出结论．

【详解】由直线互相垂直可得，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，

又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.

故选：A．

3．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是

A．2 B． C．4 D．   

【答案】C

【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.

详解：设椭圆的右焦点为连接

因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.

所以,

所以=|AF|+=2a=4,

故答案为:C

点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.

4．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．

【详解】解：因为，所以，

因为点，分别是线段，的中点，

所以，

所以．

故选：A．

5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由诱导公式与三角函数的图象变换判断，

【详解】，

故只需将函数的图象所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，

或先向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满足题意

故选：D

6．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.

【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设双曲线的方程为，

则该双曲线过点，且，所以，

解得，所以，得，

所以该双曲线的焦距为，

故选：C．

7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.

【详解】由于，

所以，

由正弦定理得，

，

，

，

由于，所以，所以，

由于，所以.

故选：B

8．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.

【详解】根据题意，设，因为，且，

所以，代入到抛物线中，得，

所以，将代入到双曲线中，得，即，

设双曲线的焦点，渐近线为，即，

所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，

故选：D.

二、多选题

9．已知､是两条不重合的直线，､､是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若､是异面直线，，，，，则

【答案】AD

【解析】根据线面平行、垂直的有关定理逐一判断即可．

【详解】解：

A：因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以A正确

B：因为垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，所以B错误；

C：由，，知，可能相交，不一定平行，所以C错误；

D：由，根据线面垂直的性质，则存在直线满足： ,.

由知，根据线面平行的性质定理，则存在直线满足：

所以，所以，所以

由，，同样可证，故D正确.

故选：AD．

【点睛】本题考查线面平行、垂直的判定或性质，是基础题.

10．直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ）

A．－8 B．－5 C．3 D．4

【答案】AD

【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知，再利用斜率公式求解，即可.

【详解】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，

时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．

故选：AD．

11．已知抛物线上的动点到焦点的距离最小值是3，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于，则（    ）

A．抛物线的方程为

B．满足条件的直线有2条

C．焦点到直线的距离为2或或

D．

【答案】CD

【分析】由题设可得即可得抛物线方程，设过P的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求到直线的距离，写出的方程弦长公式求.

【详解】由题设知：，则，故且，A错误；

因为在外，令过P的直线与相切，

所以，若，可得或，

故、与相切，又与只有一个交点，

所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，B错误；

对于，到直线的距离；

对于，到直线的距离；

对于，到直线的距离，C正确；

由题设，为，联立，可得，

则，故，D正确.

故选：CD

12．已知实数x，y满足方程．则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】方程表示圆，设，可得圆心到的距离等于半径时斜率取得最大、最小值；设，利用圆心到直线距离等于半径可求得的最值；表示圆上的一点与原点的距离的平方，由圆的几何性质可求出.

【详解】方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆．

设，即，易知圆心到的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．

由，解得，所以或．所以的最大值为，最小值为．AB正确．

设则，由点到直线的距离公式，得，即．故的最大值为，最小值为，C不正确．

表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是，D不正确．

故选：AB.

三、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【分析】利用诱导公式化简，再次化简得，则得.

【详解】因为，

所以，

所以，又，所以.

故答案为：.

14．向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为______．

【答案】

【分析】向量在上的投影向量为，利用公式求解.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得，

所以，

所以,

则向量在上的投影向量的坐标为.

故答案为：.

15．已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为______

【答案】

【分析】根据条件，利用向量建立关系，求出点的坐标，代入椭圆方程求解即可得出离心率．

【详解】解：由题意，，不妨设F是C的右焦点,所以，设，，

则，

因为，所以，，，

解得，

代入椭圆方程可得，即，所以.

故答案为: .

16．在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________.

【答案】

【分析】作图后由线面角，二面角的定义，三棱锥的体积公式求解

【详解】由平面，，则即为二面角的平面角，

而，平面，平面，，

平面，即为直线与平面所成角，

，，则，，

，得，

故，，

故答案为：

四、解答题

17．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.

(1)若直线，求直线l的方程；

(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，

（2）由题意得过原点或斜率为后求解

【详解】（1）联立得即.

因为，不妨设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为.

（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；

当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为，即.

综上所述，直线l的方程是或.

18．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由椭圆的焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；

（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可.

【详解】（1）∵椭圆：的焦点坐标为，

∴，即．

∴抛物线C的方程为：．

（2）联立方程组消去x，整理得．

∴．

∴，即,

∴,

∴．

19．已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点

(1)求圆E的方程；

(2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长.

【答案】(1)

(2)切线方程为或，切线长

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可.

【详解】（1）选①，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，由条件易知，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以，解得

所以切线方程为，

若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.

综上过点的圆E的切线方程为或，

切线长

20．如图所示，在四棱锥中，，，，且．

(1)求证：平面ADP；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)8.

【分析】（1）在梯形中，根据给定条件证明，再利用线面垂直的判定推理作答.

（2）由（1）可得平面平面ABCD，再求出边AD上的高即可求解作答.

【详解】（1）如图，连接BD，由，知，，，，

在中，，，则，，

在中，，

则有，因此，即，

又，，平面ADP，

所以平面ADP.

（2）在中，，，有，

取的中点，连，则，且，

由（1）知，平面ADP，而平面ABCD，即有平面平面，

平面平面，平面ADP，于是得平面，

梯形的面积，

所以四棱锥的体积．

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间的值域；

(3)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

(3)

【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简，进而根据周期公式以及整体法求单调区间，

（2）由范围得的范围，结合正弦函数的性质即可求解值域，

（3）数形结合即可求解.

【详解】（1）由得,，

故最小正周期为，

由，解得，

故的单调递增区间为；

（2）因为，所以，，

所以，即的值域为；

（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故

22．已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

【答案】(1)；

(2)3.

【分析】(1)根据题意得关于a,b,c的方程组，解之即得椭圆的方程；

(2)先求出点,再证明点在椭圆上，最后求的值.

【详解】（1）由题意可知：当位于椭圆上顶点或下顶点时，面积取得最大值，

所以，

所以，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可知，

因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，

所以，

设点，则，圆的半径为，

则直线的方程为，

的方程设为，则到直线的距离等于半径，

即，

化简得，

由，得，

所以点,

，

所以点在椭圆上，

∴，即.

【点睛】（1）本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力计算能力.；

(2)解答本题的关键点有三个，其一是求点,其二是证明点P在椭圆上，其三是想到点P在椭圆上.