2022-2023学年江西省赣州市十校协作高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省赣州市十校协作高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．直线l：的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由直线的斜率，又，再求解即可.

【详解】解：由直线l：，

则直线的斜率，

又，

所以，

即直线l：的倾斜角为，

故选：C.

【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题.

2．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据点与圆的位置关系求解即可.

【详解】因为点在圆的内部，

所以，即，解得.

故选：A

3．已知椭圆（）的左焦点为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.

【解析】椭圆的基本性质

4．若两直线与平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式即得.

【详解】依题意可得，，解得

所以直线方程为，又，即，

则两平行直线的距离为.

故选：B.

5．直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，然后根据不等式恒成立的法则可知对任意恒成立，即可知恒成立，即直线与圆相交.

【详解】解：由题意得：

已知圆的方程可化为，即圆心的坐标为，半径为

圆心到直线的距离为

当时，即 ，则整理可知：，根据二次函数的性质，，故不等式恒成立，直线与圆相交；

当时，即 ，不等式无解；

故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；

故选：A

6．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．

【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．

故选：B．

7．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得，再根据离心率求参数c，进而求得，即可写出椭圆方程.

【详解】由题设，，且，

所以△的周长为，即，

又，可得，则，

综上，C的方程为.

故选：B

8．若点在直线上，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．2 D．6

【答案】C

【分析】将转化为两点距离，即可求解．

【详解】解：表示点与点的距离，且点在直线外

则的最小值为点到直线的距离，即，

故的最小值为2．

故选：C．

二、多选题

9．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ）

A．－2 B．－6 C．－3 D．1

【答案】ABC

【分析】分别讨论和与平行，过和的交点坐标，三种情况求出的取值.

【详解】当与平行时，此时符合题意；

当与平行时，此时符合题意；

由可得：，所以直线与直线的交点坐标为，

将代入中可得：，可得：.

综上所述：的取值可能值为：.

故选：ABC.

10．已知椭圆，在下列结论正确的是（    ）

A．长轴长为1 B．焦距为

C．焦点坐标为 D．离心率为

【答案】ACD

【分析】先化简椭圆方程为标准方程，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解.

【详解】由椭圆方程化为标准方程可得，

所以 ，

所以长轴长为，A正确；

焦距，B错误；

焦点坐标为，C正确；

离心率，D正确.

故选：ACD

11．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线过定点

B．圆的圆心坐标为

C．直线与圆的相交弦的最小值为

D．直线与圆的相交弦的最大值为4

【答案】ACD

【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A，直线，即，

令，得，即直线过定点，故A正确；

对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；

对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，

当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，

又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；

对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.

故选：ACD

12．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（    ）

A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是

C．的面积一定是 D．的周长一定是

【答案】BD

【分析】求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答.

【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，

以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，

显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，

以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；

以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；

由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；

由椭圆定义知，的周长为，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知两圆与交于两点，则直线的方程为___________.

【答案】

【分析】由两圆方程作差后求解

【详解】，，

两式作差得，化简得，

故答案为：

14．过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程为______．

【答案】

【分析】首先联立方程求两直线的交点，再利用两直线垂直斜率之积为，可求得所求直线斜率，然后根据点斜式可得直线方程.

【详解】由方程组，得交点坐标为，

因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，

由点斜式得所求直线方程为，即.

故答案为：.

15．过点(-1，0)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为___________.

【答案】

【分析】先求已知椭圆的焦点坐标可得c=，再将点(-1,0)代入椭圆，结合可得椭圆参数，进而写出所求椭圆方程.

【详解】由题设知：已知椭圆的焦点坐标：(0,4)，(0,-4)，c=，

∵所求椭圆与有相同焦点，设所求椭圆的方程为：，

∴椭圆的半焦距c=，即，结合，解得：,

∴椭圆的标准方程为.

故答案为：

16．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为________________．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出动弦中点Q的轨迹，再借助几何意义求出的最小值作答.

【详解】圆的圆心，半径，

令动弦中点为Q，则，，即动弦中点Q的轨迹是以点C为圆心，为半径的圆，

点到直线的距离，即直线与点Q的轨迹相离，

，而，所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知△ABC的顶点为A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．

（1）求BC边上的中线AD的长；

（2）求AB边上的高所在的直线方程．

【答案】（1）（2）x﹣7y﹣25＝0

【分析】（1）由中点坐标公式先求出，再由距离公式能求出边上的中线的长；

（2）先求出，即可求出边上的高所在的直线方程．

【详解】（1）∵△ABC的顶点为A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4）．

∴D（﹣1，﹣3），

∴BC边上的中线AD的长：|AD|．

（2）kAB7，

∴AB边上的高所在的直线方程为：y+4（x+3），即x﹣7y﹣25＝0．

【点睛】本题主要考查线段长和直线方程的求法，涉及中点坐标公式、点斜式方程等基础知识的运用，意在考查学生的运算求解能力，属于基础题．

18．求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)经过点，两点；

(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，有椭圆的标准方程形式可得答案.

（2）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可.

【详解】（1）（1）解：由题意得：

，

P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上

，

故所求椭圆的焦点在x轴上

设椭圆方程为

由题意得，解得或 (舍去)

所以椭圆的标准方程为.

19．已知圆过直线与的交点，圆心为点.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线：始终平分圆的周长，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先联立直线方程，求出交点坐标，从而计算出半径，写出圆的标准方程；

（2）直线经过圆的圆心，求出，再用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】（1），解得：，所以圆过点，

则圆的半径为，

所以圆的标准方程为；

（2）由题意得：直线：经过圆的圆心，

将其代入，，

因为，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

20．已知圆过点，，.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的一般式方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设圆的一般方程，应用待定系数法，根据点在圆上列方程组求参数，即可得方程；

（2）由（1）所得圆的方程及弦长易知圆心到所求直线的距离为，讨论直线的斜率的存在性，再结合点线距离公式求直线方程.

【详解】（1）设圆的方程为，

由题意知，解方程组得，

故所求圆的方程为，即;

（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为，则

（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；

（ii）当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即，

则圆心到直线的距离，解得，此时直线方程为.

综上，所求直线方程为或

21．已知直线经过点．

(1)若直线与直线垂直，求的直线方程；

(2)设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两直线垂直的直线一般式，设直线的方程为，再带入点的坐标，即可得的值，即可得直线方程；

（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得面积最小值，根据取等条件得的值，即可得直线方程.

【详解】（1）解:若直线与直线垂直,则可设直线的方程为

又直线经过点，所以，得

则的直线方程为：

（2）解：设直线的斜率，则直线

直线与两坐标轴交点分别为,、0,，

则面积为，

又

当且仅当时，等号成立，

故面积最小值为4，此时直线方程为：.

22．已知椭圆的离心率为，且过点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率

【答案】(1)；

(2)直线l的斜率为1

【分析】（1）利用题意得到关于的方程组，即可得到椭圆的方程；

（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示，化简变形即可求解

【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，

所以，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）设直线，，，

联立方程，整理得，

即，

，，

即，

，

即，

整理得，所以或，

若，则直线过点，不合题意，

所以直线的斜率为