2022-2023学年江西省临川第一中学暨临川实验学校高地二上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省临川第一中学暨临川实验学校高地二上学期11月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省临川第一中学暨临川实验学校高地二上学期11月月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合A、B，再求．
【详解】集合，，
所以．
故选：A．
2．已知为虚数单位，若，则（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由复数的除法运算公式将其化为可求得a，b的值，再由分数指数幂与根式互化公式 可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
故选：B.
3．从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，列举出满足正三角形的顶点的组合，然后再利用古典概型概率计算公式计算出所求概率即可.
【详解】如图示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有种，
在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形的有8种，顶点的集合分别是，，，，，，，，所以所求概率为.
故选：B

4．打羽毛球是全民皆宜的运动．标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，则这个圆台的体积约是（单位：）（    ）
注：本题运算时取3，取2.24，运算最后结果精确到整数位．
A．108 B．113 C．118 D．123
【答案】D
【分析】由圆台的体积公式求解即可.
【详解】圆台的体积为
故选：D
5．已知函数，则它的部分图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A，B，C，D四个选项它们的不同在于四个象限中函数值的正负，A和B中当时，函数值均有取到负值，C当时，函数值可取正或负，D中当时函数值均为负，根据函数特点分析其在定义域上的对应值域的正负，进行判断即得。
【详解】当时，且，所以此时。故A,B均不正确.当时，为了判断的正负性，只需判断和的大小，即判断和，即和的大小.而故.所以，选项D错误，选项C正确.
故选：C
【点睛】本题考查指数函数对数函数的运算和函数图像的基础知识，但是考查灵活，是一道不错的中档题。
6．已知，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【详解】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
7．已知，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】法一：∵，
∴可设，，
∴，代入所求式子得，
，
当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.
法二：设，，
代入已知等式得，，
∴
，
其中，.
∴，所以的最小值为.
故选：D
8．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故选：D

二、多选题
9．是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ）
A． B．在方向上的投影等于
C． D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A，由向量平行四边形法则及重心的性质即可判断；对于B，由投影的定义即可判断；对于C、D，由极化恒等式结合数量积的运算求解即可.
【详解】
取的中点，连接.对于A，，又是的重心，
则，则，A错误；
对于B，在方向上的投影等于，B正确；
对于C，，
又，则，则，C正确；
对于D，取的中点，连接，取中点，连接，则，，
，则
，显然当重合时，，取最小值，D正确.
故选：BCD.
10．已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（    ）
A． B．的最小值为4
C．为定值 D．
【答案】ABD
【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出可判断C不正确；表示出，，由可判断D正确．
【详解】对于A，因为抛物线的准线，
所以，则，故A正确；
对于，抛物线，过焦点的直线为，则，
整理可得，设，
可得，，
，
所以，当 时取等号，
最小值为4，所以正确；
对于C，，

所以
所以，所以C不正确；
对于D，，，，


所以，故D正确.
故选：ABD.

11．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于､两点，是的中点，直线与相交于点.则下列结论正确的是（    ）
A．圆的半径为
B．的最小值为
C．当时，
D．为定值5
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式和垂径定理逐项检验即可求解.
【详解】对于，设圆的半径为，因为圆与直线相切，
所以，故选项正确；
对于，要使取最小值，则圆心到直线    的距离最大，
因为直线过定点，所以，
此时，故选项正确；
对于，当直线的方程为    ，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截的弦长，
故选项正确；
对于，当直线的斜率不存在时，点，则，
又因为，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，故选项错误，
故选：.
12．在正三棱锥中，，，，分别为，的中点，若点是此三棱锥表面上一动点，且，记动点围成的平面区域的面积为，三棱锥的体积为，则（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】依题意可得直线垂直于动点围成的平面区域所在的平面，当时取、、、的中点、、、，连接、、、，即可得到动点围成的平面区域为如图所示的矩形，求出锥体的体积与矩形的面积即可判断A、C，同理求出时的情况，即可判断.
【详解】解：由题意知，直线垂直于动点围成的平面区域所在的平面，
当时，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面、、都是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以、，，平面，
所以平面，
取、、、的中点、、、，连接、、、，
则，所以平面，平面，所以，
又三角形为等腰直角三角形，为的中点，所以，又，所以，
又，平面，所以平面，
则此时正三棱锥的体积，

由题意可知，动点围成的平面区域为如图所示的矩形，
且，，则该矩形的面积为，故A、C均正确；
当时，正三棱锥即为棱长为2的正四面体，各个面都是边长为的正三角形，
则此时正三棱锥的体积，
过点作，垂足为，设，过点作交于点，连接、，
因为，，所以，又，，平面，
所以平面，

由题意可知，动点围成的平面区域为如图所示的三角形，
显然为的中点，，解得，
所以，，，
又，所以，即所以，
所以，故B错误、D正确.
故选：ACD

三、填空题
13．若函数满足，则实数______.
【答案】##
【分析】由可知函数的对称轴方程，把对称轴方程代入函数解析式得到函数最值，可解出实数.
【详解】函数满足，所以函数图像的对称轴为直线 ，
， 其中，
∴，
，，
，两边同时平方，化简得，
∴.
故答案为：
14．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由，可求得，再求解，结合向量模长的三角不等式，即得解.
【详解】由题意，，又，
故，
故，
由向量模长的三角不等式，，
即，
解得：，则的最大值为.
故答案为：
15．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
【答案】
【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.
【详解】首先我们证明椭圆的焦半径公式
左准线方程为，右准线方程为，，
，，同理可证，

因为本题椭圆离心率:，设

由焦半径公式:得:,
即中点，，则垂直平分线斜率为
根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，
则线段的垂直平分线方程为,代入得:
,即,则.
故答案为：.
【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.

四、双空题
16．已知函数，若当方程有四个不等实根、、、，(＜＜＜) 时，不等式恒成立，则x1·x2=________，实数的最小值为___________．
【答案】     1    
【分析】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对
数函数的性质可得，利用对数的运算易得，由对称性可得
，再应用参变分离有恒成立，构造
，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.
【详解】当时，，
∴，如下图示：

∴、､、对应A、B、C、D的横坐标，
由，故，因为，又
得
故答题空1的答案为：.
由对称性同理可得：，
又因为
得：，，
分离参数得：，
设，
令，则，，则，
再令（）
则，
∴（当且仅当时取“=”），
∴，即，
∴，即实数的最小值为.
故答题空2的答案为：.

五、解答题
17．在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式的常数项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，常数项即，可得k的值，即得常数项；
（2）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系数绝对值最大的项
【详解】（1）的二项展开式的通项为．
选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．
选②，前三项的二项式系数之和为，解得．
由上知，展开式的通项为，
常数项即当时，，∴常数项为．
（2）由（1）得，的二项展开式的通项为，
故第项的系数的绝对值为：．
由题设，令，解得，
∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．
18．在中，内角A，B，C满足且．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）由正弦边角关系得，利用和差角及二倍角正弦公式化简得，即可证结论.
（2）由，结合（1）的结论，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】（1）由题设，，则，
，
所以，即，
，
又，则；
（2），
设，
（当且仅当等号成立）．
∴所求最小值为．
19．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.为了比较注射A，B两种疫苗后产生的抗体情况，选200只小鼠做实验，将这200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中一组注射疫苗A，另一组注射疫苗B．下表1和表2分别是注射疫苗A和疫苗B后的实验结果.
表1：注射疫苗A后产生抗体参数的频率分布表
抗体参数




频数
30
40
20
10

表2：注射疫苗B后产生抗体参数的频率分布表
抗体参数





频数
10
25
20
30
15

（1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种疫苗后抗体参数的中位数大小；

（2）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射疫苗A后的抗体参数与注射疫苗B后的抗体参数有差异”.
表3：

抗体参数小于75
抗体参数不小于75
合计
注射疫苗A
a=
b=

注射疫苗B
c=
d=

合计


n=

附：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828


【答案】（1）作图见解析；注射疫苗A后抗体参数的中位数小于注射疫苗B后抗体参数的中位数（2）填表见解析；有99.9%的把握认为“注射疫苗A后的抗体参数与注射疫苗B后的抗体参数有差异”
【分析】（1）由题中数据完成频率分布直方图，可由图知射疫苗A后抗体参数的中位数小于注射疫苗B后抗体参数的中位数；
（2）完成列联表，代入算出的观测值，从而判断有99.9%的把握认为“注射疫苗A后的抗体参数与注射疫苗B后的抗体参数有差异”.
【详解】解
【详解】(1)
图1注射疫苗A后产生抗体参数的频率分布直方图图2注射疫苗B后产生抗体参数的频率分布直方图
可以看出注射疫苗A后的抗体参数的中位数在70至75之间，而注射疫苗B后的抗体参数的中位数在75至80之间，所以注射疫苗A后抗体参数的中位数小于注射疫苗B后抗体参数的中位数.
（若考生计算两种抗体参数中位数的估计值分别为72.50，78.75然后比较大小，也应给分.）
（2）

抗体参数小于75
抗体参数不小于75
合计
注射疫苗A


100
注射疫苗B


100
合计
105
95


，
由于，所以有99.9%的把握认为“注射疫苗A后的抗体参数与注射疫苗B后的抗体参数有差异”.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，数字特征以及独立性检验的基本思想及应用，考查了学生的数据分析和运算求解能力.
20．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.

(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）首先证明平面，进而得，再根据勾股定理证明，最后利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）首先以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，然后写出各点坐标并求解平面与平面的法向量，利用夹角公式，根据已知条件中夹角余弦值为列出关于的等式，解方程即可求出.
【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形，，且E为CD的中点，且，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面PBD的法向量为，
由，得，
令，得.
，
设平面PAM的法向量为，
由，得，令，则，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为，
则，整理可得，
，解得.
21．已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.
(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求 的面积；
(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件，先求出C的方程，写出直线l的方程，与双曲线方程联立求出P，Q点的坐标，运用两点距离公式和点到直线的距离公式即可计算出的面积；
（2）根据M，N关于原点的对称性，设立坐标 ，求出直线AM和直线AN的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理求出P，Q的坐标，再利用两点式直线方程化简即可.
【详解】（1）将点代入的方程，得，解得，
所以的方程为.直线的方程为，
联立方程 整理得，，解得，
不妨设，，
则，
点到直线的距离为，所以 的面积为；
（2）
依题意作上图，设 ，则 ， ， ，
直线AP的方程为： ，直线AQ的方程为： ；
联立方程： ，解得： ，
显然 ，即 ；
， ，
联立方程： ，解得： ，
显然 ，即，
，
即当 时，
直线PQ的方程为： ，将上面求得的 解析式代入得：
，整理得： ，
所以直线PQ过定点 .
【点睛】本题第二问计算量很大，需要反复计算确认，但思路比较容易，只要根据对称性设立M，N点坐标，其他的只要顺势而为即可.
22．已知函数，其中且.
（1）当时，求函数定义域；
（2）设函数，试求函数的零点；
（3）任取，若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）零点为0；（3）.
【解析】（1）利用真数大于零列不等式，结合指数函数的性质求解即可；
（2）由，可得，化为，解指数方程即可得答案；
（3）问题转化为在对任意恒成立，分类讨论，分别求出的最大值与最小值，可列出关于a的不等式，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）时，，

所以函数定义域为
（2）由题知
令，即
∴
解得，即，故函数零点为0
（3）问题转化为
在对任意恒成立
当时，可知单调递增
故在恒成立
即在恒成立
即在恒成立
∴在[0，2]恒成立，
即，
解得
当，可知单调递减
故在在恒成立
在在恒成立
化为在在恒成立
∴，解得
综上，.
【点睛】结论点睛：类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.