2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．下列有关直线的说法中正确的是（    ）．

A．直线的斜率为 B．直线的斜率为

C．直线过定点 D．直线过定点

【答案】D

【分析】讨论和两种情况可得.

【详解】直线可化为．

当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；

当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，

所以A，B，C不正确，D正确．

故选：D.

2．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（    ）

A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5

【答案】D

【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.

【详解】由题设，，可得.

故选：D

3．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ）

A． B．9 C．4 D．8

【答案】B

【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，

因此，即，

∴，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为9.

故选：B.

4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.

【详解】由题意可得

解得，，

因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.

故选：B.

【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.

5．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.

【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点；

故选：C

6．已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由题可得两圆的圆心和半径，利用弦长公式可得公共弦长，再利用面积公式即求.

【详解】根据条件易知，，所以，

圆的半径为2，

圆与圆相交于点，，

的方程为：.即，圆到的距离为：

于是，

因为，

所以四边形的面积为：.

故选：B.

7．点到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】首先求出直线的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出结果．

【详解】解：直线恒过点，

当过点的直线垂直直线且垂足为时，

该距离为最大距离， ；

故选：B．

8．已知椭圆，双曲线，，为的焦点，为和的交点，若△的内切圆的圆心的横坐标为1，和的离心率之积为，则实数的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】设 的内切圆的圆心为，且与，，的切点为，，，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为，运用离心率公式，可得．

【详解】

不妨设点P在第一象限，设 的内切圆的圆心为，且与，，的切点为，，，

可得， ，

由双曲线的定义可得 ，即有 ，

又 ，可得 ，可得内切圆的圆心的横坐标为，

和的离心率之积为，可得 解得，

故选：．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解，

对于C，分别求出直线在轴，轴的截距，即可求解，

对于D，分直线在轴和轴上截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解．

【详解】解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A正确，

对于B，直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误，

对于C，直线，令，，令，，

故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确，

对于D，当直线在轴和轴上截距为0时，所求直线方程为，

当直线在轴和轴上截距不为0时，所求直线方程为，

综上所述，所求直线的方程为或，故D错误．

故选：AC．

10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　）

A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1

B．直线AB的方程为x－2y－4＝0

C．线段AB的长为

D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为

【答案】ABD

【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．

【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，

则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；

联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，

可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；

圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，

则线段AB的长为2，故C错误；

令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，

可得，解得t＝4．

∴2a－b的最大值为，故D正确．

故选：ABD．

11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由椭圆定义，可得，，分类讨论，，，不共线时由不等关系得出离心率范围，，，共线时，求离心率，综合得离心率取值范围，判断各选项可得．

【详解】由椭圆的定义，可得．

又，所以，．

①当点与，不共线时，在中，，

即，所以．

②当点与，共线时，分析知，，

所以，即，所以．

综上，椭圆的离心率的取值范围是，

故选：CD．

12．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】AB

【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，即可求解．

【详解】表示的曲线是双曲线，

表示平面内一点 到定点 的距离与到直线 的距离之比，

根据圆锥曲线的统一定义有 ，

，

故选：AB．

三、填空题

13．拋物线的焦点坐标为___________.

【答案】

【分析】化成抛物线的标准方程即可.

【详解】由题意知， ，则焦点坐标为 .

故答案为：

14．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.

【答案】

【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.

【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，

设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.

故答案为：.

15．已知直线与圆相交于两点，若，则______.

【答案】

【分析】求得圆心和半径r，在△ABC中，由余弦定理计算可得AB，由圆和直线相交的弦长公式可得C到直线的距离d，再由点到直线的距离公式，解方程可得a的值．

【详解】圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的圆心C（1，1），半径为r＝2，

由△ABC中，CA＝CB＝2，∠ACB＝120°，可得AB2，

设圆心C到直线的距离为d，可得222，即d＝1，

则1，解得a，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查直线和圆相交的弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

16．已知点在椭圆上，则点到直线的最小距离为 __．

【答案】

【分析】设，，，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，再利用三角函数的性质，即可求得到直线的距离；

【详解】设，，，则到直线的距离 ，

当时，取最小值，最小值为，

故答案为： .

四、解答题

17．根据下列条件写出曲线的标准方程：

(1)求渐近线方程为，且经过点，的双曲线标准方程；

(2)求以原点为顶点，焦点在坐标轴上，且经过点的抛物线标准方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由渐近线方程可设双曲线的方程为， 代入点的坐标，解方程可得，进而得到所求双曲线的方程；

（2）根据题意，分析可得抛物线的开口向下或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将的坐标代入计算可得的值，综合2种情况即可得答案．

【详解】（1）由渐近线方程为，可设双曲线的方程为，

由双曲线经过点，，可得，

即，可得双曲线的标准方程为

（2）根据题意，要求抛物线经过点，

则该抛物线开口向下或向左，

若抛物线开口向左，设其方程为，

又由其经过点，

则有， 解可得，

此时抛物线的方程为，

若抛物线开口向下，设其方程为，

又由其经过点，

则有，解可得，

此时抛物线的方程为，

综合可得：抛物线的方程为或．

18．已知抛物线方程为，焦点在直线上．

(1)求抛物线的方程；

(2)记直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．

【答案】(1)；

(2)5.

【分析】（1）根据焦点在直线上，令直线中，可得焦点坐标，进而可得抛物线的方程．

（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，计算，然后利用焦点弦长公式计算．

【详解】（1）因为抛物线方程为，焦点在直线上，

所以令，解得，则，所以，

所以抛物线的方程为；

（2）因为直线与抛物线交于，两点，

联立，消去整理得，，

所以，

所以，

即线段的长度为5．

19．在中，，，直线，的斜率之积为．

(1)求顶点的轨迹方程；

(2)若，求面积大小．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）设出点坐标，利用直线，的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程.

（2）由及确定点A的轨迹与（1）的轨迹结合，求出点A的纵坐标的绝对值即可计算作答．

【详解】（1）设，则直线AB的斜率，直线AC的斜率，，

依题意有，化简得，，

所以顶点的轨迹方程为得，.

（2）因，，则点A的轨迹是以线段BC为弦，所含圆周角为的两段圆弧（除端点外），

圆弧所在圆的圆心在线段BC的中垂线上，即y轴上，半径，

由对称性不妨令圆心在y轴正半轴上，设为，则有，解得，

因此点A的轨迹方程为，

而点A在双曲线上，由消去x得：，

而，解得，因此，

所以面积为.

20．已知两个定点，，动点满足．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若过点作曲线的切线，记其中的一个切点为，求线段的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点的坐标为，由列出方程化简求解即可；

（2）由（1）知，圆心，半径，点，计算，根据切线计算即可．

【详解】（1）由题，设点的坐标为，

因为，所以，

即，

整理得，

所以所求曲线的轨迹方程为；

（2）由（1）知，圆心，半径，

点，则，

则切线．

21．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知圆E经过点，且______.

(1)求圆E的一般方程；

(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，

（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.

【详解】（1）方案一：选条件①.

设圆的方程为，

则，解得，

则圆E的方程为.

方案二：选条件②.

直线恒过点.

因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，

所以圆心坐标为，

又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.

方案三：选条件③.

设圆E的方程为.

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即.

（2）设.

因为M为线段AP的中点，所以，

因为点P是圆E上的动点，所以，即，

所以M的轨迹方程为.

22．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线．

(1)以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程；

(2)设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值．

【答案】(1);

(2)

【分析】（1）由已知可得，进而由椭圆的定义知点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，进而可求曲线的标准方程；

（2）设直线与曲线交于，两点坐标为，，，，联立方程可得，，以直径的圆经过曲线的中心，则，可得，求解即可．

【详解】（1）把圆周上的点折叠到点，折痕是的垂直平分线，，

，

若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．

总有成立，又是圆内的一点，，

故点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，

，，，，，

以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，

曲线的标准方程为；

（2）设直线与曲线交于，两点坐标为，，，，

由，消去得，

整理得，

，，

，，

，

以直径的圆经过曲线的中心，则，

，，，

，

解得，

经检验，符合题意，故．