2022-2023学年辽宁省鞍山市高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省鞍山市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可知，直线与轴垂直，可得出该直线的倾斜角.

【详解】直线方程即为，该直线与轴垂直，故直线的倾斜角为.

故选：C.

2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（     ）

A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直

【答案】B

【详解】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．

3．过点且与直线垂直的直线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，

所以，所求直线的方程为，即.

故选：B.

4．过点引圆的切线，则切线的方程为（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线与轴垂直时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得出关于的等式，即可解得的值，综合可得出所求切线的方程.

【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；

当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，

由题意可得，解得，

此时，所求切线的方程为.

综上所述，所求切线方程为或.

故选：C.

5．已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，其中、，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得的值.

【详解】因为三向量、、共面，设，其中、，

则，解得.

故选：B.

6．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于

A．14 B．34 C．14或45 D．34或14

【答案】D

【分析】先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.

【详解】设圆､圆的半径分别为､.圆的方程可化为，

圆的方程可化为.

由两圆相切得，或，

∵，

∴或或或(舍去).

因此， 解得a=34

或 解得

故选:D.

【点睛】本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.

7．已知圆,若直线与圆交于两点,则弦长的最小值是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，求解圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由题意，直线过定点，

又由圆的圆心坐标，半径，

则点到圆心的距离可得，

由圆的弦长公式，可得，

即弦长的最小值为，故选D.

【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

8．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设向量，， ，利用向量，，作为基底表示向量，，利用向量夹角公式求异面直线DE和BF所成角的余弦值.

【详解】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，

设正四面体的棱长等于1，且，，，

∵，，

∴ ，

，

，，

∵，

∴，

即直线和所成角的余弦值为，

故选：A.

二、多选题

9．已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．

【详解】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．

故，而，所以或．

故选：AC．

【点睛】本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．

10．若圆和圆的交点为、，则有（    ）

A．公共弦所在直线的方程为

B．线段的垂直平分线的方程为

C．公共弦的长为

D．为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为

【答案】ABD

【分析】将两圆方程作差可得出直线的方程，可判断A选项；分析可知垂直且平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；计算出点到直线的距离的最大值，可判断D选项.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

，所以，，

所以，两圆相交.

对于A选项，将两圆方程作差可得公共弦的方程为，A对；

对于B选项，因为，，，所以，，

所以，，所以，垂直且平分线段，

直线的斜率为，

因此，线段的垂直平分线方程为，即，B对；

对于C选项，联立，解得或，

不妨记点、，则，C错；

对于D选项，圆心到直线的距离为，

因此，点到直线的距离的最大值为，D对.

故选：ABD.

11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则（    ）

A．⊥ B．是等边三角形

C．AB与平面BCD所成的角为60° D．AB与CD所成的角为90°

【答案】AB

【分析】A选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；

B选项，设出正方形边长为a，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从而得到，是等边三角形，B正确；

C选项，证明线面垂直，得到AB与平面BCD所成角为，求出其度数即可；

D选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.

【详解】取BD的中点O，连接OC，OA，

因为，，

所以，

因为，平面OAC，

所以BD⊥平面AOC，

因为平面AOC，

所以BD⊥AC，A正确；

不妨设正方形边长为a，则CD=AD=a，

则，

因为二面角为直二面角，，

所以即为二面角的平面角，且，

由勾股定理得：，

故，是等边三角形，B正确；

由AB选项可知：，，，平面BCD，

所以AO⊥平面BCD，

故AB与平面BCD所成角为，且，

故AB与平面BCD所成的角为45°，C错误；

以O为坐标原点，OA，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，

则，

则，

，

则

故AB与CD所成的角不为90°，D错误.

故选：AB

12．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BCD

【分析】根据已知求出即得两直线方程分别为，再根据“平行相切”和“平行相离”，求出的范围，即得解.

【详解】由已知得直线与平行，

，

解得或，

当时，两直线方程相同，两直线重合，不合题意，

当时，检验符合题意，．

此时两直线方程分别为，

将配方整理得，

∴圆心坐标为，半径为．

当两条平行直线与圆“平行相切”时，或，

当两条平行直线与圆“平行相离”时，且，即，

当两条平行直线与圆“平行相交”时，且，

故选：BCD．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、填空题

13．平行六面体中，为的中点，，，，则______．

【答案】

【分析】利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式.

【详解】如下图所示：

.

故答案为：.

14．若直线：与：互相平行，则实数_____．

【答案】

【详解】因为两直线平行，所以.

15．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．

【答案】

【分析】利用等体积法求得到平面的距离.

【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，

依题意可知平面，

所以平面，

由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，

即到平面的距离是.

,，

所以，

由于，所以，

，

设到平面的距离为，则，

即.

故答案为：

16．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】分析可知直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过原点时的值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】由可得，

则直线与曲线有两个公共点，如下图所示：

由可得，即，

所以，曲线表示圆的上半圆，

直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得，

当直线过原点时，，

由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点．

(1)求直线的方程；

(2)若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出点的坐标，利用点斜式可得出直线的方程；

（2）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得出直线的方程.

【详解】（1）解：直线的方程整理得，

由，解得，即点，

所以，直线的方程为，即.

（2）解：因为直线平行于直线，设直线的方程为，

由题意可得，解得或，

故直线的方程为或.

18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，AB＝2，．

（Ⅰ）求证：平面PAC；

（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据菱形的条件，对角线，又根据平面，也能推出，这样就能证明直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，即平面；

（Ⅱ） 取中点，设，连结，，根据中位线平行，就将异面直线所成角转化成相交直线所成角，即即为所求角，根据平面几何的几何关系，求三边，然后根据余弦定理求角．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以．

在菱形中，，且，

所以平面．

（Ⅱ）解：取中点，设，连结，．

在菱形中，是中点，所以．

则即为与所成角．

由，，平面，

可知，，，

在△中，．

所以与所成角的余弦值是．

【解析】1．异面直线所成角；2．线面平行的判定定理．

19．已知圆经过点，，且它的圆心在直线上.

（1）求圆关于直线对称的圆的方程；

（2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）设出圆的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径，得到圆的方程；再解出点关于直线的对称点坐标，写出对称圆的方程.

（2）利用相关点法，设点，，设法用含的式子表示点的坐标，然后将点代入圆方程即可得到点的轨迹方程.

【详解】解析（1）由已知可设圆心，又由已知得，

从而有，解得，

所以圆的圆心为，半径，

所以圆的方程为，

圆心关于的对称点为，

所以圆关于直线对称的圆的方程为.

（2）设，，则由及为线段的中点得，

，解得.

又点在圆上，所以，即，

故所求的轨迹方程为:.

【点睛】本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用.

20．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E、F分别为CA1、AB的中点.

（1）证明:平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）通过证明来证得平面.

（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来计算出与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）如图，连接EC1、BC1，

因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，

所以E为AC1的中点.

又因为F为AB的中点，所以.

又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以平面.

（2）以A1为原点，A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)，

所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，

设平面AEF的法向量为，则

令x=3，得，

记B1F与平面AEF所成角为θ，则.

21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】（1）；（2）2．

【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由，解得：．

故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．

（2）设M；N，

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，

可得，

∴，

∴，

由，解得 k=1，

故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2

【解析】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算

22．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．

(1)求证：；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立；

（2）取的中点，连接，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，再利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，.

（2）解：取的中点，连接，

因为是等边三角形，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

又因为四边形为矩形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

所以，，．

设，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，

易知平面的一个法向量为，

由题意可得，解得，

所以，，

又因为，所以，点到平面的距离为.