2022-2023学年辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围.【详解】由题设且，故.故选：D2．直线与圆交于，两点，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用几何法求弦长.【详解】因为圆心O到直线的距离为，由垂径定理得：.故选：B3．椭圆的焦距等于（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】先将方程化为椭圆方程的标准形式，然后求出，再由可求出，从而可求出焦距.【详解】由，得，所以，所以，所以焦距为，故选：A.4．下列选项中，不正确的命题是（    ）A．若两条不同直线，的方向向量为，，则B．若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底D．若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使【答案】C【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断.【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，所以，所以,设为的中点，所以，所以，所以点在平面内，且为的重心，所以B正确，对于C，因为，所以共面，所以不是空间向量的一组基底，所以C错误，对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使，所以D正确，故选：C.5．正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐一判断，【详解】对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，平面，则，故C错误，对于D，，，由垂直关系化简得，故D错误，故选：B6．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设.利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出和，即可求解.【详解】设.因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，所以，所以，所以.故选：B7．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且曲线，在第一象限内的公共点记为，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据焦点相同得到，，然后利用椭圆和双曲线的定义得到，，即可得到，，再利用余弦定理列方程，解方程得到即可求双曲线的离心率.【详解】因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以，，为两曲线的公共点，所以，，联立得，，因为，所以，解得，则双曲线的离心率为.故选：A.8．长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点的坐标，然后利用空间向量求解即可.【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设的横坐标为，则，所以（），设与平面所成角的为，则，令（），对称轴为，所以的最小值为，所以的最大值为，因为，所以的最大值为，故选：D 二、多选题9．已知圆，点，下列说法正确的有（    ）A．若点在圆上，则圆在点处的切线方程为B．若点在圆外，则直线与圆相交C．若点在圆内，则直线与圆相交D．若点在圆外，则直线与圆位置关系不确定【答案】AB【分析】根据圆与直线的位置关系，结合题意，即可判断和选择.【详解】对A：点在圆上，则，因为点的坐标满足，故过点，又点到直线的距离，故与圆相切；综上所述，若点在圆上，则圆在点处的切线方程为，A正确；对BD：点在圆外，则，又点到直线的距离，故直线与圆相交，B正确D错误；对C：点在圆内，则，又点到直线的距离，故直线与圆相离，C错误；故选：AB.10．已知椭圆的焦点为，，为椭圆上一点．在中，下列说法正确的有（    ）A．的周长为B．若的中点在轴上，则C．若，则椭圆的离心率取值范围为D．【答案】ABD【分析】对于A，利用椭圆的定义分析判断，对于B，由条件可得轴，从而可求出，对于C，利用椭圆的定义结合余弦定理求解，对于D，设（），则，然后化简计算可得结果.【详解】对于A，因为为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，的周长为，所以A正确，对于B，因为的中点在轴上，的中点，所以∥，所以轴，当时，，得，得，所以，所以，所以B正确，对于C，设，由于，则，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的离心率取值范围为，所以C错误，对于D，设（），则，所以，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD.11．双曲线的左右焦点为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据双曲线的定义及其有界性可得，结合离心率性质求范围，即可得结果.【详解】由双曲线定义知：，则，所以，故、、满足范围要求，不满足.故选：ABC12．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，则下列说法正确的是（    ）A． B．直线与平面所成的角为C．二面角的余弦值为 D．若，则到平面的距离为【答案】ACD【分析】A：若为中点，连接，易证△△，则△、△都为等腰三角形，有，再应用线面垂直的判定、性质证结论；B：由面面垂直的性质知在面上的射影在直线上，找到线面角，再求其大小；C：构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角运算求二面角余弦值；D：应用等体积法求点面距离.【详解】若为中点，连接，由，，易得△△，所以，故△、△都为等腰三角形，则，又，面，故面，面，所以，A正确；因为平面平面，且平面平面，所以在面上的射影在直线上，连接，，则面，故为直线与平面所成角的平面角，面，故，由题意，故，即，所以直线与平面所成角为，B错误；令，由上分析知：，故，，由上易知：△△，即，且面，故，构建如下空间直角坐标系，则，，，所以，，若是面的一个法向量，则，令，则，而是面的一个法向量，所以，故钝二面角的余弦值，C正确；若，则，，且，所以，，又，令到平面的距离为，所以，可得，D正确.故选：ACD 三、填空题13．若异面直线和的方向向量分别为，，则直线与直线所成角的余弦值为______．【答案】【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求，结合线线角的范围确定直线与直线所成角的余弦值.【详解】由题设，又线线角的范围为，所以直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：14．若直线与直线平行，则______．【答案】【分析】根据直线与直线平行的充要条件，列出等量关系，求解即可.【详解】因为平行，故可得，且，即，且，解得.故答案为：.15．双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【详解】与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程可设为，当时，得到双曲线方程为，显然该双曲线与双曲线有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：16．已知椭圆的左焦点为，过斜率为的直线与椭圆相交于、两点，若，则椭圆的离心率______．【答案】##0.4【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，这几个式子再结合化简可得.【详解】因为直线过且斜率为，所以直线为：，与椭圆：联立消去，得，设，则因为，可得，代入上式得消去并化简整理得：，将代入化简得：，解得，因此，该双曲线的离心率.故答案为：. 四、解答题17．已知直线和圆(1)求直线经过的定点的坐标(2)当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据方程的性质进行求解即可；（2）根据圆的性质，结合斜率公式以及直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】（1），因为，所以有，即；（2）因为，所以在圆内，所以当时，直线被圆截得的弦长最短，因为，所以，由，即，即直线的方程为.18．如图，平行六面体中，，，，点满足(1)求的长度(2)求【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由线段的空间位置关系可得，应用向量数量积的运算律求即可；（2）由，结合（1）并应用向量数量积的运算律求值.【详解】（1）如下图，，又，所以，故.（2）如下图，，所以.19．双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，点，过的直线与双曲线交于，两点(1)求双曲线的方程(2)若，两点均在轴左侧，求直线的斜率的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据渐近线方程为，焦距为，可得，再由即可求出的值，从而可得双曲线方程；(2) 直线的方程为，联立双曲线方程可得，由可得，设，由题意可得，结合韦达定理即可求解出的取值范围．【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，所以，解得，所以双曲线方程为：；（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，可得，，所以，即，设，因为，两点均在轴左侧，所以，所以，可得，解得，又因为，所以，所以.20．已知椭圆经过点且离心率为(1)求椭圆的方程(2)过点的直线与椭圆相交于、两点，为椭圆的左焦点，记的面积为，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据离心率得到，代入点解得，得到椭圆方程.（2）易知直线斜率不为0，设直线方程为，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算得到，设，得到，根据函数的单调性得到范围.【详解】（1）椭圆的离心率，即，故，椭圆过点，故，，椭圆为.（2）易知直线斜率不为0，设直线方程为，联立得，得到，，，，设，，则函数在上单调递增，故，故.21．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，，为上一点．(1)若为中点，求证：平面(2)若点不与和重合，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【分析】（1）若为中点，连接，易得为平行四边形，有，根据线面平行的判定证结论；（2）先证，构建空间直角坐标系，令且，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求得，再求、面的法向量，即可求线面角余弦值，进而得正切值.【详解】（1）若为中点，连接，又为中点，故且，而，，，故且，所以为平行四边形，故，又面，面，所以平面.（2）由平面，平面，则，又，故可构建如下图示的空间直角坐标系，则，令且，故，若为面一个法向量，则，令，则，，若为面一个法向量，则，令，则，所以，可得.故，则，而面的法向量为，所以，故其正切值为1.22．已知椭圆与轴正半轴交于点，直线与椭圆交于、两点，直线与直线的斜率分别记为，，(1)求的值(2)若直线与椭圆相交于、两点，直线、的斜率分别记作、，若，且在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将直线方程与椭圆方程联立可求出两点的坐标，从而可求出，，进而可求出的值；（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线为，设，将直方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由，可得，由于在以为直径的圆内，所以，化简可求得结果.【详解】（1）由，得，解得或，当时，；当时，，所以，，因为，所以，所以；（2）若直线的斜率不存在，则垂直于轴，则点不在以为直径的圆内，不合题意，若直线的斜率存在，设直线为，设，由，得，由，得，则，因为，所以，所以，所以，所以，，由题意可知，所以解得，所以，即，解得或，因为在以为直径的圆内，所以，所以，化简得，解得，综上，.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，化简后利用根与系数的关系，再将在以为直径的圆内，转化为，考查计算能力，属于较难题.